Calcule o limite. lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

Vamos calcular o limite da função e^-1 /(x^2+y^2) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e entender como a função se comporta próximo do ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador dentro do expoente: x^2 + y^2. Esse termo representa o quadrado da distância do ponto (x, y) até a origem (0,0) no plano. À medida que (x, y) se aproxima de (0,0), x^2 + y^2 tende a 0.

Passo 3

Agora, analisamos o termo -1/(x^2 + y^2). Como x^2 + y^2 está se aproximando de 0, o valor de -1/(x^2 + y^2) tende a -infty. Isso significa que o expoente da função exponencial está indo para -infty.

Passo 4

Sabemos que e^z, onde z tende a -infty, se aproxima de 0. Portanto, quando o expoente -1/(x^2 + y^2) tende a -infty, a função e^-1/(x^2 + y^2) tende a 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2) = 0

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