Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla em coordenadas cartesianas:
O objetivo aqui é transformar essa integral para coordenadas polares e calcular o resultado. Para isso, vamos precisar entender como converter de cartesianas para polares e usar a fórmula da área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral em e em descreve a área do semicírculo superior de raio 1. Isso porque é a equação do semicírculo superior.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde:
é a distância do ponto à origem.
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo .
As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de área se transforma em .
Passo 4
Vamos definir os limites de integração em coordenadas polares:
O raio varia de 0 até 1, já que estamos lidando com um semicírculo de raio 1.
O ângulo varia de 0 até radianos para cobrir o semicírculo superior.
Assim, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a :