Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule-a.
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla em coordenadas cartesianas:
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 dy , dx
O objetivo aqui é transformar essa integral para coordenadas polares e calcular o resultado. Para isso, vamos precisar entender como converter de cartesianas para polares e usar a fórmula da área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral em e em descreve a área do semicírculo superior de raio 1. Isso porque é a equação do semicírculo superior.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por x = r costheta e y = r sintheta , onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo .
As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração em coordenadas polares:
  • O raio integral0^pi integral0^1 r , dr , dtheta varia de 0 até 1, já que estamos lidando com um semicírculo de raio 1.
  • O ângulo varia de 0 até radianos para cobrir o semicírculo superior.
Assim, a integral em coordenadas polares fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r , dr = 12 r^2 |0^1 = 12 :
integral0^pi 12 , dtheta = 12 theta g|0^pi = pi2
Em seguida, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados