(h) ( ) A sequência
definida por
e
é convergente;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência
que começa com
e segue a regra
. O objetivo é descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um número específico à medida que
fica bem grande. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ver se detectamos algum padrão. Sabemos que
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Percebemos que cada termo parece ser
.
Passo 3
Vamos verificar se essa observação se mantém. Suponhamos que
. Então,
Isso confirma nossa observação! Portanto, a fórmula geral da sequência é:
Passo 4
Agora que temos a fórmula geral, podemos analisar o comportamento da sequência quando
tende ao infinito. Queremos encontrar:
Sabemos que quando
fica muito grande,
fica cada vez menor, se aproximando de zero.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.