(h) ( ) A sequência a_n definida por a1 = 1 e a_{n+1} = n a_{n} / (n + 1) é convergente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência que começa com e segue a regra . O objetivo é descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um número específico à medida que fica bem grande. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ver se detectamos algum padrão. Sabemos que .
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Percebemos que cada termo parece ser .

Passo 3

Vamos verificar se essa observação se mantém. Suponhamos que . Então,
Isso confirma nossa observação! Portanto, a fórmula geral da sequência é:

Passo 4

Agora que temos a fórmula geral, podemos analisar o comportamento da sequência quando tende ao infinito. Queremos encontrar:
Sabemos que quando fica muito grande, fica cada vez menor, se aproximando de zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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