(d) integral0^+infty arctan xx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral:
integral0^+infty arctan xx^2+1 , dx
Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais que têm funções trigonométricas inversas como a . Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que a gente pode substituir para facilitar. Observa que temos ddx (arctan x) = 1x^2+1 no numerador e no denominador. Sabemos que a derivada de é:
Isso é muito útil porque podemos usar substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = arctan x
Agora, derivando ambos os lados em relação a du = 1x^2+1 , dx , temos:
Perceba que aparece exatamente na nossa integral original. Isso significa que podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral0^+infty arctan xx^2+1 , dx = integralu(0)^u(+infty) u , du
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u = arctan 0 = 0 :
  • Quando u = arctan(+infty) = pi2 :
    integral0^pi2 u , du
  • Quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, essa é uma integral mais simples de resolver. Vamos integrar integral u , du = u^22 + C em relação a [ u^22 ]0^pi2 = ( pi2 )^22 - 0^22 = pi^28 :
Como estamos fazendo uma integral definida, aplicamos os limites:

Resposta

integral0^+infty arctan xx^2+1 , dx = pi^28

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