(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral:
Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais que têm funções trigonométricas inversas como a
. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que a gente pode substituir para facilitar. Observa que temos
no numerador e
no denominador. Sabemos que a derivada de
é:
Isso é muito útil porque podemos usar substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Perceba que
aparece exatamente na nossa integral original. Isso significa que podemos reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo na integral original:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável
:
-
Quando
: -
Quando
:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, essa é uma integral mais simples de resolver. Vamos integrar
em relação a
:
Como estamos fazendo uma integral definida, aplicamos os limites: