Calcule as integrais integral1^e^3 (ln (x))^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral1^e^3 (ln (x))^2x , dx
Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que vamos substituir a parte complicada da integral por uma variável mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos derivar dt = 1x dx em relação a para encontrar . Se , então a derivada de é:
Isso significa que . Agora, podemos substituir na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo integral (ln (x))^2x , dx = integral t^2 , dt e na integral, temos:
Agora, a integral ficou muito mais simples: é a integral de em relação a .

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral t^2 , dt = t^33 + C . A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 6

Agora, precisamos substituir de volta os valores dos limites de integração. Quando t = ln(1) = 0 :
t = ln(e^3) = 3
E quando :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 7

Agora, vamos calcular a antiderivada nos limites de integração:
t^33 |0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 - 0 = 9

Resposta

O valor da integral é 9.

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