Calcule integral0^pi2 x sen(x) d x. Dê o resultado com duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de . Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente ao método de integração por partes. Vamos precisar identificar duas partes da função para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u = x e dv = sin(x) , dx e du = dx e v = -cos(x) de forma adequada. Aqui, vamos deixar:
Agora, vamos calcular e :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx
Agora, vamos integrar integral cos(x) , dx = sin(x) :
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C
Então, substituindo de volta:
Onde é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular os limites.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de [ -x cos(x) + sin(x) ]0^pi2 a - pi2 cos(pi2) + sin(pi2) = - pi2 cdot 0 + 1 = 1 :
-0 cdot cos(0) + sin(0) = 0 + 0 = 0
Vamos calcular em :
E em :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
1 - 0 = 1,00
A resposta final é 1,00.

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