Calcule integral0^pi e^x cos (x) d x. Dê o resultado com duas casas decimais. Dica: integre por partes duas vezes e note que a integral original aparece novamente no lado direito, com coeficiente -1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com técnicas de cálculo, especificamente integração por partes. Para resolver isso, vamos seguir a dica: integrar por partes duas vezes e observar que a integral original aparece de novo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u = e^x e dv = cos(x) , dx e du = e^x , dx e v = sin(x) de forma estratégica. Vamos escolher:
Então, derivando e integrando, temos:

Passo 3

Aplicando a fórmula:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - integral e^x sin(x) , dx
Agora, precisamos resolver a nova integral .

Passo 4

Vamos aplicar integração por partes novamente para u = e^x e dv = sin(x) , dx . Dessa vez, escolhemos:
du = e^x , dx e v = -cos(x)
Derivando e integrando:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx
Agora, observe que temos a integral original de novo.

Passo 6

Voltando à nossa equação original:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - ( -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx )
Simplificando:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) + e^x cos(x) - integral e^x cos(x) , dx

Passo 7

Vamos chamar a integral de I = e^x (sin(x) + cos(x)) - I :
2I = e^x (sin(x) + cos(x))
Somando I = e^x (sin(x) + cos(x))2 + C dos dois lados:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral definida de I = [ e^x (sin(x) + cos(x))2 ]0^pi a I = e^pi (sin(pi) + cos(pi))2 - e^0 (sin(0) + cos(0))2 :
I = e^pi (0 - 1)2 - 1 (0 + 1)2 = -e^pi2 - 12
Substituindo os limites:
I = -e^pi + 12
Sabendo que , , e :

Resposta

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