CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS - 5 PONTOS
Costrua o gráfico da função
y=x^2 e^-x
Passo 1: cálculo de derivadas
CÁLCULO DA PRIMEIRA DERIVADA CÁLCULO DA SEGUNDA DERIVADA
PASSO 2: DETERMINAÇÃo DE ASSÍntOTAS
AsSintotaS VERTICAIS (SE HOUVER):
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS (SE HOUVER):
ASSíNTOTAS OBLíquAS (SE HOUVER):
Intervalo Sinal Comportamento de l|l CÁLCULO DA PRIMEIRA DERIVADA & CÁLCULO DA SEGUNDA DERIVADA hline
|l|l|l|l|l| hline mu

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir o gráfico da função . Isso significa que vamos desenhar como essa função se comporta no plano cartesiano. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar pontos importantes como máximos e mínimos, e também vamos verificar as assíntotas para entender melhor o comportamento da função em certos limites. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada, além de analisar os limites da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de y' = ddx(x^2) cdot e^-x + x^2 cdot ddx(e^-x) . A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, onde ela muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Usamos a regra do produto para derivar:
y' = 2x e^-x - x^2 e^-x
y' = e^-x (2x - x^2)
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada para entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” ou “chorando”.
Derivando y'' = ddx(e^-x) cdot (2x - x^2) + e^-x cdot ddx(2x - x^2) novamente usando a regra do produto:
y'' = -e^-x (2x - x^2) + e^-x (2 - 2x)
y'' = e^-x [ - (2x - x^2) + (2 - 2x) ]
Fatorando y'' = e^-x [ -2x + x^2 + 2 - 2x ] :
y'' = e^-x (x^2 - 4x + 2)

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos encontrando onde a primeira derivada e^-x (2x - x^2) = 0 :
2x - x^2 = 0
Como x (2 - x) = 0 nunca é zero, resolvemos:
y'' = e^0 (0 - 0 + 2) = 2 > 0 Rightarrow Mínimo
y'' = e^-2 (4 - 8 + 2) = e^-2 (-2) < 0 Rightarrow Máximo
Então, ou .
Agora, vamos ver se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Para :
í
Para :
á

Passo 5

Vamos determinar as assíntotas da função.
  • Assíntotas Verticais: São linhas verticais que a função se aproxima, mas nunca toca. Para limx to +infty x^2 e^-x = 0 (pois e^-x ) decai mais rápido que qualquer polinômio cresce) , não há divisões por zero ou logaritmos, então não temos assíntotas verticais.
  • Assíntotas Horizontais: São linhas horizontais que a função se aproxima quando limx to -infty x^2 e^-x = +infty (pois e^-x ) cresce exponencialmente) vai para ou .
Então, temos uma assíntota horizontal em quando .
  • Assíntotas Oblíquas: São linhas retas inclinadas que a função se aproxima. Não há neste caso, pois a função tem apenas uma assíntota horizontal.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos e .
  • Para : Como cresce e também, tende a .
  • Para : A função está aumentando porque a primeira derivada é positiva.
  • Para : A função está diminuindo porque a primeira derivada é negativa.

Passo 7

Finalmente, vamos plotar o gráfico com as informações que encontrarmos:
  • Pontos críticos: mínimo e máximo.
  • Assíntota horizontal: .
  • Comportamento: Cresce de a , depois decresce para sempre se aproximando de .

Resposta

O gráfico da função tem um ponto mínimo em , um ponto máximo em , e se aproxima da linha horizontal à medida que vai para . A função cresce no intervalo de a e decresce para .

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