CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS - 5 PONTOS
Costrua o gráfico da função
Passo 1: cálculo de derivadas
CÁLCULO DA PRIMEIRA DERIVADA
CÁLCULO DA SEGUNDA DERIVADA
PASSO 2: DETERMINAÇÃo DE ASSÍntOTAS
AsSintotaS VERTICAIS (SE HOUVER):
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS (SE HOUVER):
ASSíNTOTAS OBLíquAS (SE HOUVER):
Intervalo
Sinal
Comportamento de
Costrua o gráfico da função
CÁLCULO DA PRIMEIRA DERIVADA | CÁLCULO DA SEGUNDA DERIVADA |
AsSintotaS VERTICAIS (SE HOUVER):
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS (SE HOUVER):
ASSíNTOTAS OBLíquAS (SE HOUVER):
Intervalo | Sinal | Comportamento de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que construir o gráfico da função
. Isso significa que vamos desenhar como essa função se comporta no plano cartesiano. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar pontos importantes como máximos e mínimos, e também vamos verificar as assíntotas para entender melhor o comportamento da função em certos limites. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada, além de analisar os limites da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, onde ela muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Usamos a regra do produto para derivar:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada para entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” ou “chorando”.
Derivando
novamente usando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 4
Vamos identificar os pontos críticos encontrando onde a primeira derivada
:
Como
nunca é zero, resolvemos:
Então,
ou
.
Agora, vamos ver se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos determinar as assíntotas da função.
-
Assíntotas Verticais: São linhas verticais que a função se aproxima, mas nunca toca. Para
, não há divisões por zero ou logaritmos, então não temos assíntotas verticais. -
Assíntotas Horizontais: São linhas horizontais que a função se aproxima quando
vai para ou .
Então, temos uma assíntota horizontal em
quando
.
- Assíntotas Oblíquas: São linhas retas inclinadas que a função se aproxima. Não há neste caso, pois a função tem apenas uma assíntota horizontal.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos
e
.
- Para
: Como cresce e também, tende a . - Para
: A função está aumentando porque a primeira derivada é positiva. - Para
: A função está diminuindo porque a primeira derivada é negativa.
Passo 7
Finalmente, vamos plotar o gráfico com as informações que encontrarmos:
- Pontos críticos:
mínimo e máximo. - Assíntota horizontal:
. - Comportamento: Cresce de
a , depois decresce para sempre se aproximando de .
Resposta
O gráfico da função
tem um ponto mínimo em
, um ponto máximo em
, e se aproxima da linha horizontal
à medida que
vai para
. A função cresce no intervalo de
a
e decresce para
.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
b) cost,
Resposta:
b)
Resposta:
Nos exercícios a seguir, determine uma primitiva para cada função.
e)
Resposta:
e)
Resposta:
Calcule as integrais
Calcule
. Dê o resultado com duas casas decimais.