CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS - 5 PONTOS
Costrua o gráfico da função
Passo 1: cálculo de derivadas
CÁLCULO DA PRIMEIRA DERIVADA CÁLCULO DA SEGUNDA DERIVADA
PASSO 2: DETERMINAÇÃo DE ASSÍntOTAS
AsSintotaS VERTICAIS (SE HOUVER):
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS (SE HOUVER):
ASSíNTOTAS OBLíquAS (SE HOUVER):
Intervalo Sinal Comportamento de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir o gráfico da função . Isso significa que vamos desenhar como essa função se comporta no plano cartesiano. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar pontos importantes como máximos e mínimos, e também vamos verificar as assíntotas para entender melhor o comportamento da função em certos limites. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada, além de analisar os limites da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, onde ela muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Usamos a regra do produto para derivar:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada para entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” ou “chorando”.
Derivando novamente usando a regra do produto:
Fatorando :

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos encontrando onde a primeira derivada :
Como nunca é zero, resolvemos:
Então, ou .
Agora, vamos ver se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Para :
í
Para :
á

Passo 5

Vamos determinar as assíntotas da função.
  • Assíntotas Verticais: São linhas verticais que a função se aproxima, mas nunca toca. Para , não há divisões por zero ou logaritmos, então não temos assíntotas verticais.
  • Assíntotas Horizontais: São linhas horizontais que a função se aproxima quando vai para ou .
Então, temos uma assíntota horizontal em quando .
  • Assíntotas Oblíquas: São linhas retas inclinadas que a função se aproxima. Não há neste caso, pois a função tem apenas uma assíntota horizontal.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos e .
  • Para : Como cresce e também, tende a .
  • Para : A função está aumentando porque a primeira derivada é positiva.
  • Para : A função está diminuindo porque a primeira derivada é negativa.

Passo 7

Finalmente, vamos plotar o gráfico com as informações que encontrarmos:
  • Pontos críticos: mínimo e máximo.
  • Assíntota horizontal: .
  • Comportamento: Cresce de a , depois decresce para sempre se aproximando de .

Resposta

O gráfico da função tem um ponto mínimo em , um ponto máximo em , e se aproxima da linha horizontal à medida que vai para . A função cresce no intervalo de a e decresce para .

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
b) cost,
Resposta:
Nos exercícios a seguir, determine uma primitiva para cada função.
e)
Resposta:
Calcule as integrais
Calcule . Dê o resultado com duas casas decimais.