Calcule as integrais , onde é a interseção de , com o plano ; o sentido do percurso é do ponto para .
Passo 1
Então, olha só o que a gente tem aqui: precisamos calcular a integral
onde é a interseção da esfera com o plano e . O percurso começa no ponto e vai até . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria espacial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral está representando. O numerador parece familiar, né? A gente reconhece isso como a derivada de , que é:
Então, a integral pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, observe que a entidade onde é a derivada de . Portanto, podemos simplificar a integral para:
Passo 4
Agora, vamos calcular x^2 + y^2 + z^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 nos pontos inicial e final da curva ln(2) . Primeiro, no ponto x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 :
ln(2)
Então,
No ponto final :
Então,
Passo 5
Agora, vamos subtrair o valor no ponto inicial do valor no ponto final:
ln(2) - ln(2) = 0
Isso significa que a integral ao longo da curva é zero.