Calcule as integrais , onde é a interseção de , com o plano ; o sentido do percurso é do ponto para .
Passo 1
Então, olha só o que a gente tem aqui: precisamos calcular a integral
onde é a interseção da esfera com o plano e . O percurso começa no ponto e vai até . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria espacial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral está representando. O numerador parece familiar, né? A gente reconhece isso como a derivada de , que é:
Então, a integral pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, observe que a entidade onde é a derivada de . Portanto, podemos simplificar a integral para:
Passo 4
Agora, vamos calcular nos pontos inicial e final da curva . Primeiro, no ponto :
Então,
No ponto final :
Então,
Passo 5
Agora, vamos subtrair o valor no ponto inicial do valor no ponto final:
Isso significa que a integral ao longo da curva é zero.