Calcule as integrais
, onde é a interseção de , com o plano ; o sentido do percurso é do ponto para .

Passo 1

Então, olha só o que a gente tem aqui: precisamos calcular a integral
onde é a interseção da esfera com o plano e . O percurso começa no ponto e vai até . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria espacial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral está representando. O numerador parece familiar, né? A gente reconhece isso como a derivada de , que é:
Então, a integral pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, observe que a entidade onde é a derivada de . Portanto, podemos simplificar a integral para:

Passo 4

Agora, vamos calcular nos pontos inicial e final da curva . Primeiro, no ponto :
Então,
No ponto final :
Então,

Passo 5

Agora, vamos subtrair o valor no ponto inicial do valor no ponto final:
Isso significa que a integral ao longo da curva é zero.

Resposta

A integral vale 0.

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