Calcule as integrais
integralgamma 2 x d x+2 y d y+2 z d zx^2+y^2+z^2, onde gamma é a interseção de x^2+y^2+z^2=2 e z >= 0, com o plano y=x; o sentido do percurso é do ponto (-1,-1,0) para (1,1,0).

Passo 1

Então, olha só o que a gente tem aqui: precisamos calcular a integral
integralgamma 2x,dx + 2y,dy + 2z,dzx^2 + y^2 + z^2,
onde é a interseção da esfera com o plano e . O percurso começa no ponto e vai até . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria espacial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral está representando. O numerador d(x^2 + y^2 + z^2) = 2x,dx + 2y,dy + 2z,dz parece familiar, né? A gente reconhece isso como a derivada de integralgamma d(x^2 + y^2 + z^2)x^2 + y^2 + z^2 , que é:
Então, a integral pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, observe que a entidade integralgamma d(ln(x^2 + y^2 + z^2)) = ln(x^2 + y^2 + z^2) |(-1, -1, 0)^(1, 1, 0) onde é a derivada de . Portanto, podemos simplificar a integral para:

Passo 4

Agora, vamos calcular x^2 + y^2 + z^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 nos pontos inicial e final da curva ln(2) . Primeiro, no ponto x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 :
ln(2)
Então,
No ponto final :
Então,

Passo 5

Agora, vamos subtrair o valor no ponto inicial do valor no ponto final:
ln(2) - ln(2) = 0
Isso significa que a integral ao longo da curva é zero.

Resposta

A integral vale 0.

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