A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um retângulo dentro de um triângulo retângulo isósceles, cuja hipotenusa mede 2 unidades. A gente precisa esboçar o gráfico de , que representa a área do retângulo em função de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria envolvendo triângulos e áreas de retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as proporções do triângulo. Como é um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. Vamos chamar cada cateto de . Sabemos que a hipotenusa unidades.

Passo 3

Pela relação de Pitágoras em triângulos retângulos, temos:
Então, cada cateto mede unidades.

Passo 4

Agora, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano com o ângulo reto na origem , um cateto ao longo do eixo até e o outro cateto ao longo do eixo até . A hipotenusa vai do ponto até .

Passo 5

Vamos supor que o retângulo está inscrito de tal forma que um dos seus lados está no eixo e o ponto superior direito do retângulo está na hipotenusa. Seja a distância do vértice ao ponto onde o retângulo toca o eixo .

Passo 6

Encontramos a equação da hipotenusa. Como ela liga a , a inclinação é:
Então, a equação da hipotenusa é:

Passo 7

O ponto superior direito do retângulo tem coordenadas , onde . A área do retângulo é dada por:

Passo 8

Então, a função área é:
Para esboçar o gráfico de , reconhecemos que é uma parábola com concavidade para baixo, que atinge seu valor máximo no vértice.

Resposta

O gráfico de é uma parábola com concavidade para baixo, iniciando em , atingindo um ponto máximo e voltando a zero em . Esse gráfico representa a área do retângulo em função de .

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