A figura ao lado mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um retângulo dentro de um triângulo retângulo isósceles, cuja hipotenusa mede 2 unidades. A gente precisa esboçar o gráfico de
, que representa a área do retângulo em função de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria envolvendo triângulos e áreas de retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as proporções do triângulo. Como é um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. Vamos chamar cada cateto de
. Sabemos que a hipotenusa
unidades.
Passo 3
Pela relação de Pitágoras em triângulos retângulos, temos:
Então, cada cateto mede
unidades.
Passo 4
Agora, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano com o ângulo reto na origem
, um cateto ao longo do eixo
até
e o outro cateto ao longo do eixo
até
. A hipotenusa vai do ponto
até
.
Passo 5
Vamos supor que o retângulo está inscrito de tal forma que um dos seus lados está no eixo
e o ponto superior direito do retângulo está na hipotenusa. Seja
a distância do vértice
ao ponto onde o retângulo toca o eixo
.
Passo 6
Encontramos a equação da hipotenusa. Como ela liga
a
, a inclinação
é:
Então, a equação da hipotenusa é:
Passo 7
O ponto superior direito do retângulo tem coordenadas
, onde
. A área do retângulo
é dada por:
Passo 8
Então, a função área é:
Para esboçar o gráfico de
, reconhecemos que é uma parábola com concavidade para baixo, que atinge seu valor máximo no vértice.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola com concavidade para baixo, iniciando em
, atingindo um ponto máximo e voltando a zero em
. Esse gráfico representa a área do retângulo em função de
.
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A figura a seguir mostra o gráfico de uma função
com domínio
e imagem
. Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.
Calcule as integrais
, onde
é a interseção de
, com o plano
; o sentido do percurso é do ponto
para
.
A figura a seguir mostra o gráfico de uma função
com domínio
e imagem
. Encontre os domínios e as imagens das funções a seguir e sobre os gráficos correspondentes.
A figura a seguir mostra o gráfico de uma função
com domínio
e imagem
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