Calcule as integrais cosysen , onde é a união dos segmentos de retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral de linha sobre uma curva γ, que é formada por dois segmentos de reta no espaço 3D. A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integração de campos vetoriais ao longo dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva γ em seus dois segmentos:
Primeiro segmento (C₁): de até .
Segundo segmento (C₂): de até .
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Parametrização do primeiro segmento (C₁):
Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1 para percorrer o segmento de C₁.
As coordenadas paramétricas serão:
Então, o vetor posição é .
Derivada em relação a t:
Passo 4
Cálculo da integral no segmento C₁:
A integral fica:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 5
Resolvendo a integral no segmento C₁:
Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
Integral de :
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Integral de :
Portanto, a integral total no C₁ é:
= pi [ ( -12pi (-1) - 1 ) - ( -12pi (1) - 0 ) ]
= pi [ ( 12pi - 1 ) - ( -12pi ) ]
= pi ( 12pi - 1 + 12pi ) = pi ( 1pi - 1 ) = 1 - pi
Passo 6
Parametrização do segundo segmento (C₂):
Agora, vamos para o segundo segmento, de (pi2, pi2, pi2) até (0, pi2, pi2).
Como apenas a coordenada x está variando, podemos parametrizar com t de 0 a 1:
x(t) = pi2 - pi2 t
y(t) = pi2
z(t) = pi2
Então, o vetor posição é r2(t) = (pi2 - pi2 t, pi2, pi2).
Derivada em relação a t:
r2'(t) = (-pi2, 0, 0)
Passo 7
Cálculo da integral no segmento C₂:
A integral fica:
integralC₂ sen y cos x , dx + cos y sen x , dy + dz = integral0^1 [ sen(pi2) cos(pi2 - pi2 t) cdot (-pi2) + cos(pi2) sen(pi2 - pi2 t) cdot 0 + 0 ] dt ₂