Calcule as integrais
integralgamma senycos x d x+ cosysen x d y+d z, onde gamma é a união dos segmentos de retas [(0,0, 3 pi2),(pi2, pi2, pi2)] e [(pi2, pi2, pi2),(0, pi2, pi2)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral de linha sobre uma curva γ, que é formada por dois segmentos de reta no espaço 3D. A função que vamos integrar é sen y cos x , dx + cos y sen x , dy + dz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integração de campos vetoriais ao longo dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva γ em seus dois segmentos:
  1. Primeiro segmento (C₁): de (0, 0, 3pi2) até (pi2, pi2, pi2).
  2. Segundo segmento (C₂): de (pi2, pi2, pi2) até (0, pi2, pi2).
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Parametrização do primeiro segmento (C₁):
Vamos definir um parâmetro t que varia de 0 a 1 para percorrer o segmento de C₁.
As coordenadas paramétricas serão:
x(t) = 0 + (pi2 - 0)t = pi2 t
y(t) = 0 + (pi2 - 0)t = pi2 t
z(t) = 3pi2 + (pi2 - 3pi2)t = 3pi2 - pi t
Então, o vetor posição é r1(t) = (pi2 t, pi2 t, 3pi2 - pi t).
Derivada em relação a t:
r1'(t) = (pi2, pi2, -pi)

Passo 4

Cálculo da integral no segmento C₁:
A integral fica:
integralC₁ sen y cos x , dx + cos y sen x , dy + dz = integral0^1 [ sen(y(t)) cos(x(t)) x'(t) + cos(y(t)) sen(x(t)) y'(t) + z'(t) ] dt
Substituindo os valores:
sen(pi2 t) cos(pi2 t) cdot pi2 + cos(pi2 t) sen(pi2 t) cdot pi2 + (-pi)
Simplificando:
integral0^1 [ pi2 sen(pi2 t) cos(pi2 t) + pi2 cos(pi2 t) sen(pi2 t) - pi ] dt
= integral0^1 [ pi sen(pi2 t) cos(pi2 t) - pi ] dt
= pi integral0^1 [ sen(pi2 t) cos(pi2 t) - 1 ] dt
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 5

Resolvendo a integral no segmento C₁:
Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de sen(pi2 t) cos(pi2 t):
Usando a identidade trigonométrica:
sen(a) cos(a) = 12 sen(2a)
Então:
sen(pi2 t) cos(pi2 t) = 12 sen(pi t)
Integrando:
integral 12 sen(pi t) dt = -12pi cos(pi t) + C
  1. Integral de -1:
integral -1 dt = -t + C
Portanto, a integral total no C₁ é:
pi [ -12pi cos(pi t) - t ] |0^1 = pi [ ( -12pi cos(pi) - 1 ) - ( -12pi cos(0) - 0 ) ]
= pi [ ( -12pi (-1) - 1 ) - ( -12pi (1) - 0 ) ]
= pi [ ( 12pi - 1 ) - ( -12pi ) ]
= pi ( 12pi - 1 + 12pi ) = pi ( 1pi - 1 ) = 1 - pi

Passo 6

Parametrização do segundo segmento (C₂):
Agora, vamos para o segundo segmento, de (pi2, pi2, pi2) até (0, pi2, pi2).
Como apenas a coordenada x está variando, podemos parametrizar com t de 0 a 1:
x(t) = pi2 - pi2 t
y(t) = pi2
z(t) = pi2
Então, o vetor posição é r2(t) = (pi2 - pi2 t, pi2, pi2).
Derivada em relação a t:
r2'(t) = (-pi2, 0, 0)

Passo 7

Cálculo da integral no segmento C₂:
A integral fica:
integralC₂ sen y cos x , dx + cos y sen x , dy + dz = integral0^1 [ sen(pi2) cos(pi2 - pi2 t) cdot (-pi2) + cos(pi2) sen(pi2 - pi2 t) cdot 0 + 0 ] dt
Simplificando:
Sabemos que sen(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0, então:
= integral0^1 [ 1 cdot cos(pi2 - pi2 t) cdot (-pi2) + 0 + 0 ] dt
= -pi2 integral0^1 cos(pi2 - pi2 t) dt
Usando a identidade cos(pi2 - a) = sen a, temos:
= -pi2 integral0^1 sen(pi2 t) dt
Integrando:
= -pi2 [ -2pi cos(pi2 t) ] |0^1 = pi2 cdot 2pi [ cos(pi2) - cos(0) ]
= [ 0 - 1 ] = -1

Passo 8

Somando as integrais dos dois segmentos:
A integral total é:
integralgamma F = integralC₁ F + integralC₂ F = (1 - pi) + (-1) = -pi

Resposta

O valor da integral é -pi.

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