Calcule as integrais cosysen , onde é a união dos segmentos de retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral de linha sobre uma curva γ, que é formada por dois segmentos de reta no espaço 3D. A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integração de campos vetoriais ao longo dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva γ em seus dois segmentos:
Primeiro segmento (C₁): de até .
Segundo segmento (C₂): de até .
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Parametrização do primeiro segmento (C₁):
Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1 para percorrer o segmento de C₁.
As coordenadas paramétricas serão:
Então, o vetor posição é .
Derivada em relação a t:
Passo 4
Cálculo da integral no segmento C₁:
A integral fica:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 5
Resolvendo a integral no segmento C₁:
Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
Integral de :
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Integral de :
Portanto, a integral total no C₁ é:
Passo 6
Parametrização do segundo segmento (C₂):
Agora, vamos para o segundo segmento, de até .
Como apenas a coordenada x está variando, podemos parametrizar com de 0 a 1: