Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas
do ponto de máximo.
(b) Determine as coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos resolver esse problema em duas partes:
(a) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
(b) Determinar as coordenadas do ponto de máximo.
(a) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
(b) Determinar as coordenadas
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como encontrar soluções para elas usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar a solução da equação diferencial.
A equação diferencial é:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação característica associada:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Passo 4
Como o discriminante
, temos uma raiz dupla:
Ou seja,
.
Passo 5
Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Então,
.
Passo 7
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar a expressão de
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, substituindo
:
Então,
.
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a solução completa:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b): encontrar as coordenadas
do ponto de máximo.
Para encontrar o ponto de máximo, precisamos encontrar onde a derivada primeira
é igual a zero e verificar se é um ponto de máximo.
Passo 10
Primeiro, vamos encontrar
a partir da solução encontrada:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 11
Para encontrar o ponto crítico, igualamos
a zero:
Como
para qualquer
, temos:
Passo 12
Agora, vamos encontrar
substituindo
na solução
:
Calculando
, então:
Resposta
O ponto de máximo ocorre nas coordenadas:
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;
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