Considere o problema de valor inicial
4 y'' + 4 y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas (t0, y0) do ponto de máximo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos resolver esse problema em duas partes:
(a) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
(b) Determinar as coordenadas (t0, y0) do ponto de máximo.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como encontrar soluções para elas usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar a solução da equação diferencial.
A equação diferencial é:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação característica associada:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:

Passo 4

Como o discriminante , temos uma raiz dupla:
Ou seja, .

Passo 5

Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição: y(0) = 1
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 7

Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar a expressão de y(t):
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, substituindo :
Então, .

Passo 8

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a solução completa:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): encontrar as coordenadas (t0, y0) do ponto de máximo.
Para encontrar o ponto de máximo, precisamos encontrar onde a derivada primeira y'(t) é igual a zero e verificar se é um ponto de máximo.

Passo 10

Primeiro, vamos encontrar y'(t) a partir da solução encontrada:
Derivando em relação a t:
Simplificando:

Passo 11

Para encontrar o ponto crítico, igualamos y'(t) a zero:
Como para qualquer t, temos:

Passo 12

Agora, vamos encontrar y0 substituindo na solução y(t):
Calculando , então:

Resposta

O ponto de máximo ocorre nas coordenadas:

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