Calcule as integrais
orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o cilindro em © colado aos discos
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de fluxo
onde
. A superfície
é um cilindro fechado pelas bases nos planos
e
, com raio
. Vamos usar o teorema da divergência para facilitar essa conta, pois ele relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, e isso costuma simplificar bastante as coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da divergência. Ele diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla do divergente de
sobre o volume
delimitado por
. Matemáticamente, é escrito assim:
Isso é muito útil porque, às vezes, calcular a integral de superfície diretamente é complicado, mas a integral de volume pode ser mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
. O campo vetorial dado é
, então:
Então, o divergente de
é uma constante, 3.
Passo 4
Com o divergente calculado, precisamos agora encontrar o volume do cilindro fechado pelas duas bases. Um cilindro de raio
e altura
(já que vai de
a
) tem volume:
Resposta
Aplicando o teorema da divergência, a integral de fluxo é:
Então, a resposta final é
.
Exercícios relacionados
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas do ponto de máximo.
(b) Determine as coordenadas
Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide
, acima do plano
e dentro do cilindro
, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
;