Calcule as integrais integralS F cdot d S, S orientada pela campo normal que aponta para fora.
F(x, y, z)=(x, y, z) e S é o cilindro em © colado aos discos
(x, y, z) ; x^2+y^2=a^2, z= pm h

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de fluxo integralS F cdot d S onde F(x, y, z) = (x, y, z). A superfície S é um cilindro fechado pelas bases nos planos z = h e z = -h, com raio a. Vamos usar o teorema da divergência para facilitar essa conta, pois ele relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, e isso costuma simplificar bastante as coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da divergência. Ele diz que a integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume V delimitado por S. Matemáticamente, é escrito assim:
integralS F cdot d S = integralV nabla cdot F , d V
Isso é muito útil porque, às vezes, calcular a integral de superfície diretamente é complicado, mas a integral de volume pode ser mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de F. O campo vetorial dado é F(x, y, z) = (x, y, z), então:
nabla cdot F = partialpartial x x + partialpartial y y + partialpartial z z = 1 + 1 + 1 = 3
Então, o divergente de F é uma constante, 3.

Passo 4

Com o divergente calculado, precisamos agora encontrar o volume do cilindro fechado pelas duas bases. Um cilindro de raio a e altura 2h (já que vai de -h a h) tem volume:
V = pi a^2 times 2h = 2pi a^2 h

Resposta

Aplicando o teorema da divergência, a integral de fluxo é:
integralS F cdot d S = nabla cdot F times V = 3 times 2pi a^2 h = 6pi a^2 h
Então, a resposta final é 6pi a^2 h.

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