Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide
, acima do plano
e dentro do cilindro
, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está embaixo do paraboloide
, acima do plano
(isto é,
) e dentro do cilindro
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis pra integrar em regiões circulares ou cilindricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O cilindro dado é
. A gente pode reescrever isso para facilitar passando para coordenadas polares. Sabemos que
e
, então substituindo:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Então, a equação do cilindro em coordenadas polares fica
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. A equação
descreve um círculo com raio 1 e centro em
no plano
.
Para achar os limites de
, observamos que
quando
. Então, nosso intervalo para
é de
a
.
Para cada
nesse intervalo,
varia de 0 até
.
Passo 4
Vamos agora expressar a função
em coordenadas polares. Sabendo que
e
:
Então,
em coordenadas polares.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área
é
. Portanto, o volume
é:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos na integral externa:
Sabemos que
é uma função par, então podemos simplificar:
Usando a fórmula de redução para
:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Na hora de substituir:
-
Para
: -
Para
:
Então:
Multiplicando pelo 8:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.