Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide
, acima do plano
e dentro do cilindro
, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está embaixo do paraboloide
, acima do plano
(isto é,
) e dentro do cilindro
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis pra integrar em regiões circulares ou cilindricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O cilindro dado é
. A gente pode reescrever isso para facilitar passando para coordenadas polares. Sabemos que
e
, então substituindo:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Então, a equação do cilindro em coordenadas polares fica
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. A equação
descreve um círculo com raio 1 e centro em
no plano
.
Para achar os limites de
, observamos que
quando
. Então, nosso intervalo para
é de
a
.
Para cada
nesse intervalo,
varia de 0 até
.
Passo 4
Vamos agora expressar a função
em coordenadas polares. Sabendo que
e
:
Então,
em coordenadas polares.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área
é
. Portanto, o volume
é:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos na integral externa:
Sabemos que
é uma função par, então podemos simplificar:
Usando a fórmula de redução para
:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Na hora de substituir:
-
Para
: -
Para
:
Então:
Multiplicando pelo 8:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o cilindro em © colado aos discos
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas do ponto de máximo.
(b) Determine as coordenadas
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
;
Resolva os problemas de valor inicial:
(d) , em que
(d)