Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x^2 + y^2, acima do plano x y e dentro do cilindro x^2 + y^2 = 2 x, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está embaixo do paraboloide , acima do plano (isto é, ) e dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis pra integrar em regiões circulares ou cilindricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O cilindro dado é . A gente pode reescrever isso para facilitar passando para coordenadas polares. Sabemos que e , então substituindo:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Então, a equação do cilindro em coordenadas polares fica .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . A equação descreve um círculo com raio 1 e centro em no plano .
Para achar os limites de , observamos que quando . Então, nosso intervalo para é de a .
Para cada nesse intervalo, varia de 0 até .

Passo 4

Vamos agora expressar a função em coordenadas polares. Sabendo que e :
Então, em coordenadas polares.

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é . Portanto, o volume é:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Sabemos que é uma função par, então podemos simplificar:
Usando a fórmula de redução para :
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Na hora de substituir:
  • Para :
  • Para :
Então:
Multiplicando pelo 8:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais integralS F cdot d S, S orientada pela campo normal que aponta para fora.
F(x, y, z)=(x, y, z) e S é o cilindro em © colado aos discos
(x, y, z) ; x^2+y^2=a^2, z= pm h
Considere o problema de valor inicial
4 y'' + 4 y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas (t0, y0) do ponto de máximo.
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde S está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
integralS x z d y d z+y z d z d x+x^2 d x d y, onde S: x^2+y^2+z^2=a^2;
Resolva os problemas de valor inicial:
(d) y'' + 3 y' + 2 y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < 2; 1, para t >= 2 }