Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x^2 + y^2, acima do plano x y e dentro do cilindro x^2 + y^2 = 2 x, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está embaixo do paraboloide , acima do plano (isto é, ) e dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis pra integrar em regiões circulares ou cilindricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O cilindro dado é . A gente pode reescrever isso para facilitar passando para coordenadas polares. Sabemos que e , então substituindo:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Então, a equação do cilindro em coordenadas polares fica .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . A equação descreve um círculo com raio 1 e centro em no plano .
Para achar os limites de , observamos que quando . Então, nosso intervalo para é de a .
Para cada nesse intervalo, varia de 0 até .

Passo 4

Vamos agora expressar a função em coordenadas polares. Sabendo que e :
Então, em coordenadas polares.

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é . Portanto, o volume é:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Sabemos que é uma função par, então podemos simplificar:
Usando a fórmula de redução para :
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Na hora de substituir:
  • Para :
  • Para :
Então:
Multiplicando pelo 8:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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