Calcule as seguintes integrais de superfície, onde S está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
integralS x z d y d z+y z d z d x+x^2 d x d y, onde S: x^2+y^2+z^2=a^2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma integral de superfície:
integralS x z , dy , dz + y z , dz , dx + x^2 , dx , dy,
onde S é a superfície de uma esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = a^2, e os vetores normais estão apontando para fora da esfera. A matéria que vamos usar para resolver isso é o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Para aplicar esse teorema, precisamos calcular a divergência do campo vetorial associado e depois integrar essa divergência no volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F que está relacionado com a nossa integral de superfície. Observando a expressão da integral:
integralS x z , dy , dz + y z , dz , dx + x^2 , dx , dy,
podemos associar cada termo aos componentes de F:
F = lang<= x z, y z, x^2 rang<=
Agora que temos o campo vetorial, vamos calcular a divergência dele.

Passo 3

A divergência de um campo vetorial F = lang<= Fx, Fy, Fz rang<= é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  • partial Fxpartial x = partial (x z)partial x = z
  • partial Fypartial y = partial (y z)partial y = z
  • partial Fzpartial z = partial (x^2)partial z = 0
Então, a divergência é:
nabla cdot F = z + z + 0 = 2z

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que:
integralS F cdot n , dS = integralV nabla cdot F , dV,
onde V é o volume limitado pela superfície S. No nosso caso, S é a esfera de raio a, então V é o volume da esfera.
Portanto, nossa integral de superfície se transforma em uma integral de volume:
integralV 2z , dV

Passo 5

Vamos calcular a integral de volume integralV 2z , dV sobre a esfera de raio a. Para facilitar, é bom usar coordenadas esféricas, já que a região de integração é uma esfera.
Nas coordenadas esféricas, as variáveis são:
  • r: a distância ao origem,
  • theta: o ângulo polar,
  • phi: o ângulo azimutal.
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Então, nossa integral fica:
integral0^a integral0^pi integral0^2pi 2 (r costheta) cdot r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
2 integral0^a r^3 , dr integral0^pi costheta sintheta , dtheta integral0^2pi dphi
Calculando cada parte:
  1. Integral em r:
integral0^a r^3 , dr = [ r^44 ]0^a = a^44
  1. Integral em theta:
integral0^pi costheta sintheta , dtheta
Fazendo a substituição u = costheta, du = -sintheta dtheta:
- integral1^-1 u , du = integral-1^1 u , du = [ u^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
  1. Integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 7

Agora, juntando tudo:
2 cdot a^44 cdot 0 cdot 2pi = 0

Resposta

O valor da integral de superfície é 0.

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x^2 + y^2, acima do plano x y e dentro do cilindro x^2 + y^2 = 2 x, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.
Calcule as integrais integralS F cdot d S, S orientada pela campo normal que aponta para fora.
F(x, y, z)=(x, y, z) e S é o cilindro em © colado aos discos
(x, y, z) ; x^2+y^2=a^2, z= pm h
Resolva os problemas de valor inicial:
(d) y'' + 3 y' + 2 y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < 2; 1, para t >= 2 }
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde S está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
integralS x d y d z+y d x d y, onde S=partial([0,1] times[0,1] times[0,1]).