Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma integral de superfície:
onde
é a superfície de uma esfera definida por
, e os vetores normais estão apontando para fora da esfera. A matéria que vamos usar para resolver isso é o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Para aplicar esse teorema, precisamos calcular a divergência do campo vetorial associado e depois integrar essa divergência no volume da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
que está relacionado com a nossa integral de superfície. Observando a expressão da integral:
podemos associar cada termo aos componentes de
:
Agora que temos o campo vetorial, vamos calcular a divergência dele.
Passo 3
A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que:
onde
é o volume limitado pela superfície
. No nosso caso,
é a esfera de raio
, então
é o volume da esfera.
Portanto, nossa integral de superfície se transforma em uma integral de volume:
Passo 5
Vamos calcular a integral de volume
sobre a esfera de raio
. Para facilitar, é bom usar coordenadas esféricas, já que a região de integração é uma esfera.
Nas coordenadas esféricas, as variáveis são:
-
: a distância ao origem, -
: o ângulo polar, -
: o ângulo azimutal.
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Calculando cada parte:
- Integral em
:
- Integral em
:
Fazendo a substituição
,
:
- Integral em
:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide
, acima do plano
e dentro do cilindro
, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.
Calcule as integrais
orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o cilindro em © colado aos discos
Resolva os problemas de valor inicial:
(d) , em que
(d)
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
.