Encontre a solução geral da EDO
y' = (x^2 + y^2) / (x * y)

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). O desafio é encontrar a solução geral da equação . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas básicas de EDO, como identificar o tipo da equação e aplicar substituições apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Podemos reescrever essa equação para facilitar a identificação do método de resolução:
Então, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por :
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração:
Perceba que o lado esquerdo pode ser reescrito como a derivada de menos . Contudo, isso ainda está um pouco complicado, então vamos tentar uma substituição.

Passo 5

Vamos fazer a seguinte substituição para simplificar a equação:
Então, . Agora, vamos calcular :

Passo 6

Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Agora temos uma equação mais simples:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos renomear a constante para para simplificar:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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