Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, temos aqui um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). O desafio é encontrar a solução geral da equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas básicas de EDO, como identificar o tipo da equação e aplicar substituições apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Podemos reescrever essa equação para facilitar a identificação do método de resolução:
Então, temos:
Passo 3
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração:
Perceba que o lado esquerdo pode ser reescrito como a derivada de
menos
. Contudo, isso ainda está um pouco complicado, então vamos tentar uma substituição.
Passo 5
Vamos fazer a seguinte substituição para simplificar a equação:
Então,
. Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Agora temos uma equação mais simples:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos renomear a constante
para
para simplificar:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
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orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o hemisfério
;