Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral iterada e identificar quais regiões do espaço tridimensional () ela representa como volume. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para encontrar o volume sob a superfície dada pelos limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral iterada que temos:
Aqui, estamos integrando a função em relação a de a , e depois em relação a de a . Essa função representa a altura da superfície sobre cada ponto na região de integração.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a :
Para integrar em relação a , tratamos como uma constante:
Agora, aplicamos os limites de a :
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos que integrar o resultado obtido em relação a de a :
Integramos termo a termo:
Calculando cada parte:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
O valor da integral iterada é . Essa integral representa o volume da região no espaço tridimensional limitado pela superfície sobre a área retangular definida por e .