Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de R^3, elas podem ser consideradas volumes: integral1^3 integral-2^2(16-x^2-y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral iterada e identificar quais regiões do espaço tridimensional ( R^3) ela representa como volume. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para encontrar o volume sob a superfície dada pelos limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral iterada que temos:
integral1^3 integral-2^2 (16 - x^2 - y^2) , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função 16 - x^2 - y^2 em relação a y de -2 a 2, e depois em relação a x de 1 a 3. Essa função representa a altura da superfície sobre cada ponto (x, y) na região de integração.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a y:
integral-2^2 (16 - x^2 - y^2) , dy
Para integrar em relação a y, tratamos x como uma constante:
integral (16 - x^2 - y^2) , dy = (16 - x^2)y - y^33 + C
Agora, aplicamos os limites de -2 a 2:
[(16 - x^2)(2) - (2)^33] - [(16 - x^2)(-2) - (-2)^33]
Simplificando:
(32 - 2x^2 - 83) - (-32 + 2x^2 + 83) = 32 - 2x^2 - 83 + 32 - 2x^2 - 83 = 64 - 4x^2 - 163
= (64 - 163) - 4x^2 = 1923 - 163 - 4x^2 = 1763 - 4x^2

Passo 4

Agora, temos que integrar o resultado obtido em relação a x de 1 a 3:
integral1^3 (1763 - 4x^2) , dx
Integramos termo a termo:
1763 integral1^3 , dx - 4 integral1^3 x^2 , dx = 1763 (x) |1^3 - 4 (x^33) |1^3
Calculando cada parte:
Para o primeiro termo:
1763 (3 - 1) = 1763 times 2 = 3523
Para o segundo termo:
4 (273 - 13) = 4 (263) = 1043
Subtraindo os dois resultados:
3523 - 1043 = 2483

Resposta

O valor da integral iterada é 2483. Essa integral representa o volume da região no espaço tridimensional R^3 limitado pela superfície z = 16 - x^2 - y^2 sobre a área retangular definida por 1 <= x <= 3 e -2 <= y <= 2.

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