Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral iterada e identificar quais regiões do espaço tridimensional () ela representa como volume. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para encontrar o volume sob a superfície dada pelos limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral iterada que temos:
Aqui, estamos integrando a função em relação a de a , e depois em relação a de a . Essa função representa a altura da superfície sobre cada ponto na região de integração.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a :
Para integrar em relação a , tratamos como uma constante:
Agora, aplicamos os limites de a :
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos que integrar o resultado obtido em relação a de a :
Integramos termo a termo:
Calculando cada parte:
Para o primeiro termo:
1763 (3 - 1) = 1763 times 2 = 3523
Para o segundo termo:
4 (273 - 13) = 4 (263) = 1043
Subtraindo os dois resultados:
3523 - 1043 = 2483
Resposta
O valor da integral iterada é 2483. Essa integral representa o volume da região no espaço tridimensional R^3 limitado pela superfície z = 16 - x^2 - y^2 sobre a área retangular definida por 1 <= x <= 3 e -2 <= y <= 2.