Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de R^3, elas podem ser consideradas volumes: integral-2^3 integral0^1|x| sen(pi y) d y d x f) integral-5^5 integral-1^2(5-|y|) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais duplas e identificar de quais regiões do espaço tridimensional, R^3, elas podem ser consideradas como volumes. Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e interpretar suas regiões de integração no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira integral dupla:
integral-2^3 integral0^1 |x| cdot sin(pi y) , dy , dx
Vamos começar entendendo cada parte dessa integral. A função a ser integrada é |x| cdot sin(pi y). Os limites de integração para x vão de -2 a 3 e para y de 0 a 1.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a y:
integral0^1 |x| cdot sin(pi y) , dy
Aqui, |x| é uma constante em relação a y, então podemos sair com ele da integral:
|x| cdot integral0^1 sin(pi y) , dy

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de sin(pi y) em relação a y:
integral sin(pi y) , dy = -1pi cos(pi y) + C
Avaliando de 0 a 1:
-1pi cos(pi cdot 1) + 1pi cos(pi cdot 0) = -1pi (-1) + 1pi (1) = 1pi + 1pi = 2pi

Passo 5

Substituindo de volta na integral original:
|x| cdot 2pi
Agora, a integral externa fica:
2pi integral-2^3 |x| , dx

Passo 6

Vamos calcular integral-2^3 |x| , dx. Sabemos que:
|x| = -x, & se x < 0 x, & se x >= 0
Portanto, dividimos a integral em duas partes:
integral-2^0 (-x) , dx + integral0^3 x , dx

Passo 7

Calculando cada parte:
Para x de -2 a 0:
integral-2^0 (-x) , dx = -12x^2 g|-2^0 = -12(0) + 12(4) = 2
Para x de 0 a 3:
integral0^3 x , dx = 12x^2 g|0^3 = 12(9) - 0 = 4.5
Somando as duas partes:
2 + 4.5 = 6.5

Passo 8

Voltando à integral externa:
2pi times 6.5 = 13pi
Agora, vamos para a segunda integral.

Passo 9

A segunda integral é:
integral-5^5 integral-1^2 (5 - |y|) , dx , dy
Aqui, a função a ser integrada é (5 - |y|), e os limites de integração para x vão de -5 a 5, e para y de -1 a 2.

Passo 10

Primeiro, vamos integrar em relação a x. Como a função (5 - |y|) não depende de x, a integral em x é simples:
integral-5^5 (5 - |y|) , dx = (5 - |y|) cdot (5 - (-5)) = (5 - |y|) cdot 10 = 10(5 - |y|)

Passo 11

Agora, a integral se reduz a:
10 integral-1^2 (5 - |y|) , dy
Vamos calcular essa integral.

Passo 12

Dividimos a integral com base na definição de valor absoluto:
integral-1^0 (5 - (-y)) , dy + integral0^2 (5 - y) , dy = integral-1^0 (5 + y) , dy + integral0^2 (5 - y) , dy

Passo 13

Calculando cada parte:
Para y de -1 a 0:
integral-1^0 (5 + y) , dy = 5y + 12y^2 g|-1^0 = (0 + 0) - (-5 + 0.5) = 5 - 0.5 = 4.5
Para y de 0 a 2:
integral0^2 (5 - y) , dy = 5y - 12y^2 g|0^2 = (10 - 2) - (0 - 0) = 8
Somando as duas partes:
4.5 + 8 = 12.5

Passo 14

Voltando à integral original:
10 times 12.5 = 125

Resposta

A primeira integral dupla é igual a 13pi e a segunda integral dupla é igual a 125. As regiões em R^3 que essas integrais representam volumes são:
  1. Para integral-2^3 integral0^1 |x| sin(pi y) , dy , dx, o volume corresponde à região onde x varia de -2 a 3, y varia de 0 a 1, e z = |x| sin(pi y).
  2. Para integral-5^5 integral-1^2 (5 - |y|) , dx , dy, o volume corresponde à região onde x varia de -5 a 5, y varia de -1 a 2, e z = 5 - |y|.

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