Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais duplas e identificar de quais regiões do espaço tridimensional, , elas podem ser consideradas como volumes. Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e interpretar suas regiões de integração no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira integral dupla:
Vamos começar entendendo cada parte dessa integral. A função a ser integrada é . Os limites de integração para vão de a e para de a .
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos sair com ele da integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de em relação a :
Avaliando de a :
Passo 5
Substituindo de volta na integral original:
Agora, a integral externa fica:
Passo 6
Vamos calcular . Sabemos que:
Portanto, dividimos a integral em duas partes:
Passo 7
Calculando cada parte:
Para de a :
Para de a :
Somando as duas partes:
Passo 8
Voltando à integral externa:
Agora, vamos para a segunda integral.
Passo 9
A segunda integral é:
Aqui, a função a ser integrada é , e os limites de integração para vão de a , e para de a .
Passo 10
Primeiro, vamos integrar em relação a . Como a função não depende de , a integral em é simples:
Passo 11
Agora, a integral se reduz a:
Vamos calcular essa integral.
Passo 12
Dividimos a integral com base na definição de valor absoluto:
Passo 13
Calculando cada parte:
Para de a :
Para de a :
Somando as duas partes:
Passo 14
Voltando à integral original:
Resposta
A primeira integral dupla é igual a e a segunda integral dupla é igual a . As regiões em que essas integrais representam volumes são:
Para , o volume corresponde à região onde varia de a , varia de a , e .
Para , o volume corresponde à região onde varia de a , varia de a , e .