Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais duplas e identificar de quais regiões do espaço tridimensional, , elas podem ser consideradas como volumes. Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e interpretar suas regiões de integração no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira integral dupla:
Vamos começar entendendo cada parte dessa integral. A função a ser integrada é . Os limites de integração para vão de a e para de a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos sair com ele da integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de em relação a :
Avaliando de a :

Passo 5

Substituindo de volta na integral original:
Agora, a integral externa fica:

Passo 6

Vamos calcular . Sabemos que:
Portanto, dividimos a integral em duas partes:

Passo 7

Calculando cada parte:
Para de a :
Para de a :
Somando as duas partes:

Passo 8

Voltando à integral externa:
Agora, vamos para a segunda integral.

Passo 9

A segunda integral é:
Aqui, a função a ser integrada é , e os limites de integração para vão de a , e para de a .

Passo 10

Primeiro, vamos integrar em relação a . Como a função não depende de , a integral em é simples:

Passo 11

Agora, a integral se reduz a:
Vamos calcular essa integral.

Passo 12

Dividimos a integral com base na definição de valor absoluto:

Passo 13

Calculando cada parte:
Para de a :
Para de a :
Somando as duas partes:

Passo 14

Voltando à integral original:

Resposta

A primeira integral dupla é igual a e a segunda integral dupla é igual a . As regiões em que essas integrais representam volumes são:
  1. Para , o volume corresponde à região onde varia de a , varia de a , e .
  2. Para , o volume corresponde à região onde varia de a , varia de a , e .

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Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Seja . Sem explicitamente calcular qualquer integral iterada, determine o valor de .
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: