Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de R^3, elas podem ser consideradas volumes: integral0^5 integral-2^2(4-x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral iterada . O conteúdo envolve integrais iteradas, que são usadas para calcular volumes em . Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral interna, que é em relação a integral-2^2 (4 - x^2) , dx :
integral (4) , dx = 4x
Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) , dx = -x^33
4x - x^33
Então, a antiderivada completa é:
[4x - x^33]-2^2 = (4(2) - 2^33) - (4(-2) - (-2)^33)
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de = (8 - 83) - (-8 - -83) = (243 - 83) - (-8 + 83) a = 163 - (-163) = 163 + 163 = 323 :
Calculando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^5 323 , dy :
323 cdot y |0^5 = 323 cdot 5 - 323 cdot 0 = 1603
Como é uma constante em relação a , a integral fica:

Passo 4

Vamos interpretar essa integral como o volume de uma região em . A integral iterada representa o volume abaixo da superfície , acima do plano , para variando de a e variando de a . Ou seja, estamos calculando o volume de um sólido que tem como base um retângulo no plano com lados de comprimento (de a em ) e (de a em ), e que é limitado superiormente pela parábola .

Resposta

O volume calculado é .

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