Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral iterada . O conteúdo envolve integrais iteradas, que são usadas para calcular volumes em . Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral interna, que é em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada completa é:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de a :
Calculando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a :
Como é uma constante em relação a , a integral fica:

Passo 4

Vamos interpretar essa integral como o volume de uma região em . A integral iterada representa o volume abaixo da superfície , acima do plano , para variando de a e variando de a . Ou seja, estamos calculando o volume de um sólido que tem como base um retângulo no plano com lados de comprimento (de a em ) e (de a em ), e que é limitado superiormente pela parábola .

Resposta

O volume calculado é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Seja . Sem explicitamente calcular qualquer integral iterada, determine o valor de .