Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral iterada . O conteúdo envolve integrais iteradas, que são usadas para calcular volumes em . Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral interna, que é em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada completa é:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de a :
Calculando cada parte:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a :
Como é uma constante em relação a , a integral fica:
Passo 4
Vamos interpretar essa integral como o volume de uma região em . A integral iterada representa o volume abaixo da superfície , acima do plano , para variando de a e variando de a . Ou seja, estamos calculando o volume de um sólido que tem como base um retângulo no plano com lados de comprimento (de a em ) e (de a em ), e que é limitado superiormente pela parábola .