Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,2] times[-1,0] : integral duplaR-x e^x sen(pi y2) d A

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral dupla no retângulo R = [0,2] times [-1,0]. A função que vamos integrar é -x e^x sin(pi y2). Para isso, vamos precisar saber como fazer integrais duplas e entender um pouco sobre funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser resolvida fazendo duas integrais simples, uma de cada variável. No nosso caso, temos x variando de 0 a 2 e y variando de -1 a 0. Vamos decidir integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x.

Passo 3

Vamos começar integrando a função -x e^x sin(pi y2) em relação a y, mantendo x constante. A integral fica assim:
integral-1^0 -x e^x sin(pi y2) dy

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos tirar os termos que não dependem de y para fora da integral:
- x e^x integral-1^0 sin(pi y2) dy
Aí, precisamos integrar sin(pi y2) em relação a y. Sabemos que:
integral sin(a y) dy = -1a cos(a y) + C
Aqui, a = pi2, então:
integral sin(pi y2) dy = -2pi cos(pi y2) + C

Passo 5

Aplicando os limites de integração de -1 a 0, temos:
- x e^x [ -2pi cos(pi y2) ]-1^0
Calculando:
- x e^x ( -2pi [cos(0) - cos(-pi2)] )
Sabemos que cos(0) = 1 e cos(-pi2) = 0, então:
- x e^x ( -2pi [1 - 0] ) = 2 x e^xpi

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a x, de 0 a 2:
integral0^2 2 x e^xpi dx = 2pi integral0^2 x e^x dx
Para resolver integral x e^x dx, usamos integração por partes. Sabemos que:
integral x e^x dx = e^x (x - 1) + C

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 2:
2pi [ e^2 (2 - 1) - e^0 (0 - 1) ] = 2pi [ e^2 cdot 1 - 1 cdot (-1) ] = 2pi (e^2 + 1)

Resposta

O valor da integral dupla é dfrac2(e^2 + 1)pi.

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