Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma integral dupla no retângulo
. A função que vamos integrar é
. Para isso, vamos precisar saber como fazer integrais duplas e entender um pouco sobre funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser resolvida fazendo duas integrais simples, uma de cada variável. No nosso caso, temos
variando de
a
e
variando de
a
. Vamos decidir integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
constante. A integral fica assim:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos tirar os termos que não dependem de
para fora da integral:
Aí, precisamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
, temos:
Calculando:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
, de
a
:
Para resolver
, usamos integração por partes. Sabemos que:
Passo 7
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de
, elas podem ser consideradas volumes:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de
, elas podem ser consideradas volumes: