Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral dupla no retângulo . A função que vamos integrar é . Para isso, vamos precisar saber como fazer integrais duplas e entender um pouco sobre funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser resolvida fazendo duas integrais simples, uma de cada variável. No nosso caso, temos variando de a e variando de a . Vamos decidir integrar em relação a primeiro e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo constante. A integral fica assim:

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos tirar os termos que não dependem de para fora da integral:
Aí, precisamos integrar em relação a . Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de a , temos:
Calculando:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a , de a :
Para resolver , usamos integração por partes. Sabemos que:

Passo 7

Aplicando os limites de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes: