Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante: integral0^1 integral0^x sen x d y d x+integral1^2 integral0^2-x sen x d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma de duas integrais duplas e precisamos reescrevê-las como uma única integral iterada, mudando a ordem de integração. Depois disso, vamos calcular o valor dessa integral resultante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre mudanças de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Vamos analisar cada uma das integrais separadamente para entender os limites de integração.
A primeira integral é:
integral0^1 integral0^x sen x , dy , dx
Aqui, integral1^2 integral0^2-x sen x , dy , dx varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a .
A segunda integral é:
Aqui, varia de 1 a 2, e para cada , varia de 0 a .

Passo 3

Vamos representar graficamente a região de integração no plano . Para a primeira integral, a região está abaixo da linha entre e . Para a segunda integral, a região está abaixo da linha entre e .

Passo 4

Para reescrever a soma das integrais como uma única integral iterada, precisamos unir as duas regiões de integração. Observando o gráfico, vemos que a região total está limitada por de 0 a 2, e para cada , varia de 0 até .

Passo 5

No entanto, para facilitar a integração, vamos dividir a integral em duas partes com base nos limites de integral0^2 integral0^min(x, 2 - x) sen x , dy , dx :
  1. Para de 0 a 1, varia de 0 a .
  2. Para de 1 a 2, varia de 0 a .
Mas já que estamos somando as duas integrais, podemos combiná-las mantendo os mesmos limites. Portanto, a soma das integrais pode ser representada como:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral resultante. Primeiro, integramos em relação a integral0^min(x, 2 - x) sen x , dy = sen x cdot [ y ]0^min(x, 2 - x) = sen x cdot min(x, 2 - x) :

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a integral0^2 sen x cdot min(x, 2 - x) , dx :
integral0^1 sen x cdot x , dx + integral1^2 sen x cdot (2 - x) , dx
Para simplificar, dividimos a integral em duas partes:
  1. De a , .
  2. De a , .
Portanto:

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^1 x cdot sen x , dx
Usamos integração por partes, onde:
  • uv - integral v , du = -x cdot cos x + integral cos x , dx = -x cdot cos x + sen x |0^1 -1 cdot cos(1) + sen(1) - [0 + 0] = sen(1) - cos(1) integral1^2 (2 - x) cdot sen x , dx
  • uv - integral v , du = -(2 - x) cdot cos x - integral -cos x cdot (-dx) = -(2 - x) cdot cos x - integral cos x , dx = -(2 - x) cdot cos x - sen x |1^2 -[0 cdot cos(2) - (2 - 1) cdot cos(1)] - [sen(2) - sen(1)] = cos(1) - sen(2) + sen(1)
Aplicando:
Substituindo os limites:
Segunda integral:
Usamos integração por partes novamente, onde:
Aplicando:
Substituindo os limites:

Passo 9

Somando as duas integrais:
(sen(1) - cos(1)) + (cos(1) - sen(2) + sen(1)) = 2 sen(1) - sen(2)

Resposta

O valor da integral resultante é:
2 cdot sen(1) - sen(2)

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