Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma de duas integrais duplas e precisamos reescrevê-las como uma única integral iterada, mudando a ordem de integração. Depois disso, vamos calcular o valor dessa integral resultante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre mudanças de ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Vamos analisar cada uma das integrais separadamente para entender os limites de integração.
A primeira integral é:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 a
.
A segunda integral é:
Aqui,
varia de 1 a 2, e para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 3
Vamos representar graficamente a região de integração no plano
. Para a primeira integral, a região está abaixo da linha
entre
e
. Para a segunda integral, a região está abaixo da linha
entre
e
.
Passo 4
Para reescrever a soma das integrais como uma única integral iterada, precisamos unir as duas regiões de integração. Observando o gráfico, vemos que a região total está limitada por
de 0 a 2, e para cada
,
varia de 0 até
.
Passo 5
No entanto, para facilitar a integração, vamos dividir a integral em duas partes com base nos limites de
:
- Para
de 0 a 1, varia de 0 a . - Para
de 1 a 2, varia de 0 a .
Mas já que estamos somando as duas integrais, podemos combiná-las mantendo os mesmos limites. Portanto, a soma das integrais pode ser representada como:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral resultante. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Para simplificar, dividimos a integral em duas partes:
- De
a , . - De
a , .
Portanto:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Usamos integração por partes, onde:
Aplicando:
Substituindo os limites:
Segunda integral:
Usamos integração por partes novamente, onde:
Aplicando:
Substituindo os limites:
Passo 9
Somando as duas integrais:
Resposta
O valor da integral resultante é: