Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral0^2 integral0^y^2 y d x d y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede: calcular a integral dupla integral0^2 integral0^y^2 y , dx , dy e esboçar a região definida pelos limites de integração. Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas, que nos ajudam a calcular o volume sob uma superfície sobre uma região específica no plano. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função y em relação a x, mantendo y constante. A integral de y de x = 0 até x = y^2 é:
integral0^y^2 y , dx
Como y é constante em relação a x, podemos tirar y da integral:
y integral0^y^2 dx = y cdot (x) gr|0^y^2 = y cdot y^2 - y cdot 0 = y^3

Passo 3

Agora, precisamos integrar o resultado y^3 em relação a y, de 0 até 2:
integral0^2 y^3 , dy
A integral de y^3 é:
y^44 gr|0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 - 0 = 4

Resposta

O valor da integral dupla é 4.

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