Seja . Sem explicitamente calcular qualquer integral iterada, determine o valor de .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma região no plano cartesiano e precisamos calcular a integral dupla de sobre essa região. O conteúdo envolvido aqui é a cálculo de integrais duplas e, mais especificamente, o uso de simetria de funções para simplificar o cálculo sem precisar resolver a integral iterada diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa função é composta por duas partes: e . Para facilitar, podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:

Passo 3

Agora, vamos observar a simetria de cada termo em relação aos intervalos de integração. A região é simétrica em relação ao eixo e ao eixo .
  • Para : Essa é uma função ímpar em relação a porque .
  • Para : Essa também é uma função ímpar em relação a porque .

Passo 4

Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico que vai de a , o resultado da integral é zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
  • Integral de : Como é ímpar em e a região de integração é simétrica em , temos:
  • Integral de : Da mesma forma, como é ímpar em e a região de integração é simétrica em , temos:

Passo 5

Finalmente, somando as duas integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
b) Agora, argumente porque o valor de pode ser obtido sem realizar nenhum cálculo explicíto.