Seja
. Sem explicitamente calcular qualquer integral iterada, determine o valor de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma região
no plano cartesiano e precisamos calcular a integral dupla de
sobre essa região. O conteúdo envolvido aqui é a cálculo de integrais duplas e, mais especificamente, o uso de simetria de funções para simplificar o cálculo sem precisar resolver a integral iterada diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa função é composta por duas partes:
e
. Para facilitar, podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Passo 3
Agora, vamos observar a simetria de cada termo em relação aos intervalos de integração. A região
é simétrica em relação ao eixo
e ao eixo
.
- Para
: Essa é uma função ímpar em relação a porque . - Para
: Essa também é uma função ímpar em relação a porque .
Passo 4
Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico que vai de
a
, o resultado da integral é zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
-
Integral de
: Como é ímpar em e a região de integração é simétrica em , temos: -
Integral de
: Da mesma forma, como é ímpar em e a região de integração é simétrica em , temos:
Passo 5
Finalmente, somando as duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.