Seja R=[-3,3] times[-2,2]. Sem explicitamente calcular qualquer integral iterada, determine o valor de integral duplaR(x^5+2 y) d A.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma região no plano cartesiano e precisamos calcular a integral dupla de sobre essa região. O conteúdo envolvido aqui é a cálculo de integrais duplas e, mais especificamente, o uso de simetria de funções para simplificar o cálculo sem precisar resolver a integral iterada diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função integral duplaR f(x, y) , dA = integral duplaR x^5 , dA + integral duplaR 2y , dA . Essa função é composta por duas partes: e . Para facilitar, podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:

Passo 3

Agora, vamos observar a simetria de cada termo em relação aos intervalos de integração. A região é simétrica em relação ao eixo e ao eixo .
  • Para : Essa é uma função ímpar em relação a porque .
  • Para : Essa também é uma função ímpar em relação a porque .

Passo 4

Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico que vai de integral duplaR x^5 , dA = 0 a integral duplaR 2y , dA = 0 , o resultado da integral é zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
  • Integral de : Como é ímpar em e a região de integração é simétrica em , temos:
  • Integral de : Da mesma forma, como é ímpar em e a região de integração é simétrica em , temos:

Passo 5

Finalmente, somando as duas integrais:
integral duplaR (x^5 + 2y) , dA = 0 + 0 = 0

Resposta

O valor da integral dupla é .

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