Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas integrais iteradas, ou seja, uma integral dentro da outra, e precisamos calcular o valor delas. Além disso, é pedido para indicar de que regiões de essas integrais podem ser consideradas volumes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral dupla dada: . Isso significa que estamos integrando a função constante 2 sobre a região onde varia de 1 a 3 e varia de 0 a 2.

Passo 3

Como a função que estamos integrando é constante (2), podemos simplificar a integral. Primeiro, calculamos a integral em relação a :

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

O valor das integrais iteradas é 8. Essas integrais representam o volume de um paralelepípedo na região de onde varia de 1 a 3, varia de 0 a 2, e varia de 0 a 2.

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Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
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Mostre que a integral dupla da função sobre a região do plano delimitada pelas retas representa o volume de um sólido. Encontre o volume deste sólido.
Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
a) Determine o valor da integral , calculando-a explicitamente.