Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de R^3, elas podem ser consideradas volumes: integral0^2 integral1^3 2 d x d y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas integrais iteradas, ou seja, uma integral dentro da outra, e precisamos calcular o valor delas. Além disso, é pedido para indicar de que regiões de R^3 essas integrais podem ser consideradas volumes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral dupla dada: integral0^2 integral1^3 2 , dx , dy. Isso significa que estamos integrando a função constante 2 sobre a região onde x varia de 1 a 3 e y varia de 0 a 2.

Passo 3

Como a função que estamos integrando é constante (2), podemos simplificar a integral. Primeiro, calculamos a integral em relação a x:
integral1^3 2 , dx = 2 cdot (3 - 1) = 4

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral0^2 4 , dy = 4 cdot (2 - 0) = 8

Resposta

O valor das integrais iteradas é 8. Essas integrais representam o volume de um paralelepípedo na região de R^3 onde x varia de 1 a 3, y varia de 0 a 2, e z varia de 0 a 2.

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