Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,1] times[0,1] : integral duplaR ln [(x+1)(y+1)] d A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no retângulo . A gente precisa encontrar o valor de . Isso envolve cálculo integral, especialmente integrais duplas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão e depois integrar em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo usando a propriedade ln[(x+1)(y+1)] = ln(x+1) + ln(y+1) . Assim:
integral duplaR ln(x+1) , dA + integral duplaR ln(y+1) , dA
Isso facilita porque agora temos a integral dividida em duas partes:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Como integral0^1 integral0^1 ln(x+1) , dy , dx = integral0^1 ln(x+1) ( integral0^1 dy ) dx = integral0^1 ln(x+1) cdot 1 , dx = integral0^1 ln(x+1) , dx não depende de integral0^1 integral0^1 ln(y+1) , dx , dy = integral0^1 ln(y+1) ( integral0^1 dx ) dy = integral0^1 ln(y+1) cdot 1 , dy = integral0^1 ln(y+1) , dy , a primeira integral fica:
Da mesma forma, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral u = ln(x+1) Rightarrow du = 1x+1 , dx . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
dv = dx Rightarrow v = x
integral ln(x+1) , dx = x ln(x+1) - integral xx+1 , dx
Aplicando a fórmula de integração por partes xx+1 = 1 - 1x+1 Rightarrow integral xx+1 , dx = integral 1 , dx - integral 1x+1 , dx = x - ln(x+1) :
integral ln(x+1) , dx = x ln(x+1) - (x - ln(x+1)) = (x + 1) ln(x+1) - x
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão de [ (x + 1) ln(x+1) - x ]0^1 = [ 2 ln 2 - 1 ] - [ 1 ln 1 - 0 ] = 2 ln 2 - 1 - 0 = 2 ln 2 - 1 a integral0^1 ln(y+1) , dy = 2 ln 2 - 1 :
Como a segunda integral é igual à primeira (apenas em termos de ), temos:

Passo 6

Somando as duas integrais:
(2 ln 2 - 1) + (2 ln 2 - 1) = 4 ln 2 - 2

Resposta

4 ln 2 - 2

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