Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no retângulo
. A gente precisa encontrar o valor de
. Isso envolve cálculo integral, especialmente integrais duplas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão e depois integrar em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo usando a propriedade
. Assim:
Isso facilita porque agora temos a integral dividida em duas partes:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Como
não depende de
, a primeira integral fica:
Da mesma forma, para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão de
a
:
Como a segunda integral é igual à primeira (apenas em termos de
), temos:
Passo 6
Somando as duas integrais:
Resposta
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Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de
, elas podem ser consideradas volumes:
Mostre que a integral dupla da função
sobre a região
do plano
delimitada pelas retas
representa o volume de um sólido. Encontre o volume deste sólido.