Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no retângulo . A gente precisa encontrar o valor de . Isso envolve cálculo integral, especialmente integrais duplas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão e depois integrar em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo usando a propriedade . Assim:
Isso facilita porque agora temos a integral dividida em duas partes:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Como não depende de , a primeira integral fica:
Da mesma forma, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão de a :
Como a segunda integral é igual à primeira (apenas em termos de ), temos:

Passo 6

Somando as duas integrais:

Resposta

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Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Mostre que a integral dupla da função sobre a região do plano delimitada pelas retas representa o volume de um sólido. Encontre o volume deste sólido.