Mostre que a integral dupla da função
sobre a região
do plano
delimitada pelas retas
representa o volume de um sólido. Encontre o volume deste sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral dupla da função
sobre a região
delimitada por
,
,
e
representa o volume de um sólido. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região
no plano
calcula o volume abaixo da superfície
e acima da região
. Então, nossa tarefa é configurar essa integral dupla com os limites corretos para
e
.
Passo 3
Definindo os limites de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de -1 a 2.
Então, podemos escrever a integral dupla assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Integrando termo a termo:
Somando os dois resultados:
Se quisermos uma aproximação numérica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas, aproximadamente igual a 6,205 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de
, elas podem ser consideradas volumes:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Considere a integral dupla
, onde
é a região do plano
delimitada pela parábola
e a reta
.
a) Determine o valor da integral , calculando-a explicitamente.
a) Determine o valor da integral
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: