Mostre que a integral dupla da função sobre a região do plano delimitada pelas retas representa o volume de um sólido. Encontre o volume deste sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral dupla da função sobre a região delimitada por , , e representa o volume de um sólido. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região no plano calcula o volume abaixo da superfície e acima da região . Então, nossa tarefa é configurar essa integral dupla com os limites corretos para e .

Passo 3

Definindo os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de -1 a 2.
Então, podemos escrever a integral dupla assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :
Integrando termo a termo:
Somando os dois resultados:
Se quisermos uma aproximação numérica:
ú

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas, aproximadamente igual a 6,205 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
a) Determine o valor da integral , calculando-a explicitamente.
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: