Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
a) Determine o valor da integral , calculando-a explicitamente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pela parábola e pela reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A parábola abre para baixo e intercepta o eixo no ponto . A reta é simplesmente o eixo . Para encontrar os limites de , vamos igualar as duas equações:
Então, varia de a .

Passo 3

Agora, para cada valor de entre e , varia de até . Com isso, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Observamos que as funções e são funções ímpares, ou seja, . E estamos integrando essas funções em um intervalo simétrico em torno de zero ( a ).
Para funções ímpares, a integral em um intervalo simétrico é zero:
éí
Portanto,

Passo 7

Assim, somando os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é igual a 0.

Exercícios relacionados

Mostre que a integral dupla da função sobre a região do plano delimitada pelas retas representa o volume de um sólido. Encontre o volume deste sólido.
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Determine o volume da região abaixo do gráfico de e acima do plano .