Considere a integral dupla integral duplaD x^3 d A, onde D é a região do plano x y delimitada pela parábola y=4-x^2 e a reta y=0.
a) Determine o valor da integral integral duplaD x^3 d A, calculando-a explicitamente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD x^3 d A, onde a região D é delimitada pela parábola y = 4 - x^2 e pela reta y = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região D.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. A parábola y = 4 - x^2 abre para baixo e intercepta o eixo y no ponto (0,4). A reta y = 0 é simplesmente o eixo x. Para encontrar os limites de x, vamos igualar as duas equações:
4 - x^2 = 0 implies x^2 = 4 implies x = -2 ou x = 2
Então, x varia de -2 a 2.

Passo 3

Agora, para cada valor de x entre -2 e 2, y varia de 0 até 4 - x^2. Com isso, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integral-2^2 integral0^4 - x^2 x^3 , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. Como x^3 é constante em relação a y, a integral fica:
integral0^4 - x^2 x^3 , dy = x^3 cdot y |0^4 - x^2 = x^3 cdot (4 - x^2) - x^3 cdot 0 = 4x^3 - x^5

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-2^2 (4x^3 - x^5) , dx

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Observamos que as funções x^3 e x^5 são funções ímpares, ou seja, f(-x) = -f(x). E estamos integrando essas funções em um intervalo simétrico em torno de zero ( -2 a 2).
Para funções ímpares, a integral em um intervalo simétrico é zero:
integral-a^a f(x) , dx = 0 se f é ímpar éí
Portanto,
integral-2^2 4x^3 , dx = 0 e integral-2^2 x^5 , dx = 0

Passo 7

Assim, somando os resultados das integrais:
0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaD x^3 d A é igual a 0.

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