Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
a) Determine o valor da integral , calculando-a explicitamente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pela parábola e pela reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A parábola abre para baixo e intercepta o eixo no ponto . A reta é simplesmente o eixo . Para encontrar os limites de , vamos igualar as duas equações:
Então, varia de a .
Passo 3
Agora, para cada valor de entre e , varia de até . Com isso, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Como é constante em relação a , a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Vamos calcular essa integral. Observamos que as funções e são funções ímpares, ou seja, . E estamos integrando essas funções em um intervalo simétrico em torno de zero ( a ).
Para funções ímpares, a integral em um intervalo simétrico é zero: