Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,1] times[0,1] : integral duplaR(x y)^2 cos x^3 d A

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral dupla no retângulo da função . A gente vai usar o conceito de integrais duplas, que é parte do cálculo integral, e precisa saber como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Como integral0^1 integral0^1 (xy)^2 cos(x^3) , dy , dx é de 0 a 1 para e para , podemos organizar assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 x^2 cos(x^3) ( integral0^1 y^2 , dy ) dx . Note que . Aqui, é tratado como constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Calculando a integral interna:
integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 13

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
13 integral0^1 x^2 cos(x^3) , dx

Passo 6

Agora precisamos integrar u = x^3 implies du = 3x^2 dx implies du3 = x^2 dx em relação a . Para isso, vamos usar uma substituição. Seja:

Passo 7

Substituindo na integral:
13 integralu=0^u=1 cos(u) cdot du3 = 19 integral0^1 cos(u) , du

Passo 8

Integrando integral0^1 cos(u) , du = [ sin(u) ]0^1 = sin(1) - sin(0) = sin(1) :

Passo 9

Voltando à expressão:
19 sin(1)

Resposta

O valor da integral dupla é .

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