Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Passo 1
Beleza, vamos calcular uma integral dupla no retângulo
da função
. A gente vai usar o conceito de integrais duplas, que é parte do cálculo integral, e precisa saber como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Como
é de 0 a 1 para
e para
, podemos organizar assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Note que
. Aqui,
é tratado como constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Calculando a integral interna:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Agora precisamos integrar
em relação a
. Para isso, vamos usar uma substituição. Seja:
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando
:
Passo 9
Voltando à expressão:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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, elas podem ser consideradas volumes: