Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral dupla no retângulo da função . A gente vai usar o conceito de integrais duplas, que é parte do cálculo integral, e precisa saber como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Como é de 0 a 1 para e para , podemos organizar assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Note que . Aqui, é tratado como constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Calculando a integral interna:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 6

Agora precisamos integrar em relação a . Para isso, vamos usar uma substituição. Seja:

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando :

Passo 9

Voltando à expressão:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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