Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral-1^3 integralx^2 x+1 x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla: . Isso é da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar integral x y , dy = x cdot 12 y^2 = x2 y^2 em relação a . A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de x2 (2x + 1)^2 - x2 (x)^2 a :

Passo 5

Vamos expandir e simplificar essa expressão:
x2 (4x^2 + 4x + 1) - x2 x^2 = 3x^3 + 4x^2 + x2

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral-1^3 ( 3x^3 + 4x^2 + x2 ) dx = 32 integral-1^3 x^3 , dx + 2 integral-1^3 x^2 , dx + 12 integral-1^3 x , dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
32 cdot x^44 + 2 cdot x^33 + 12 cdot x^22 = 38x^4 + 23x^3 + 14x^2

Passo 8

Aplicamos os limites de ( 38(3)^4 + 23(3)^3 + 14(3)^2 ) - ( 38(-1)^4 + 23(-1)^3 + 14(-1)^2 ) a = ( 38 cdot 81 + 23 cdot 27 + 14 cdot 9 ) - ( 38 cdot 1 - 23 cdot 1 + 14 cdot 1 ) :
= ( 2438 + 18 + 94 ) - ( 38 - 23 + 14 )
= 4058 - ( -124 ) = 4058 + 124 = 1523

Resposta

A integral dupla vale .

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