Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla: . Isso é da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar em relação a . A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 5

Vamos expandir e simplificar essa expressão:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Aplicamos os limites de a :

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Calcule , onde é a região triangular com vértices .