Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla:
. Isso é da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Aplicamos os limites de
a
:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de
, elas podem ser consideradas volumes:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Calcule
, onde
é a região triangular com vértices
.