Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício manda calcular uma integral dupla: . Isso envolve entender integrais duplas, regiões de integração e como inverter a ordem de integração. Para resolver, vamos primeiro visualizar a região onde vamos integrar e depois trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a . Se desenharmos isso no plano , teremos duas linhas:
Essas linhas se cruzam no ponto onde (ou seja, na origem) e se estendem até . A região de integração é o “triângulo” entre essas duas linhas, de a .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites:
  • vai de 0 a 2 (já que quando , ).
  • Para um dado , varia de a (derivado das equações e ).
Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a nova integral. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos isso em relação a :
Para resolver , usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Agora aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

A integral vale .

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Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de , elas podem ser consideradas volumes:
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
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