Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício manda calcular uma integral dupla: . Isso envolve entender integrais duplas, regiões de integração e como inverter a ordem de integração. Para resolver, vamos primeiro visualizar a região onde vamos integrar e depois trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a . Se desenharmos isso no plano , teremos duas linhas:
Essas linhas se cruzam no ponto onde (ou seja, na origem) e se estendem até . A região de integração é o “triângulo” entre essas duas linhas, de a .
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites:
vai de 0 a 2 (já que quando , ).
Para um dado , varia de a (derivado das equações e ).
Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos calcular a nova integral. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos isso em relação a :
Para resolver , usamos a integração por partes, onde: