Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: integral0^1 integraly^2 y e^x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício manda calcular uma integral dupla: . Isso envolve entender integrais duplas, regiões de integração e como inverter a ordem de integração. Para resolver, vamos primeiro visualizar a região onde vamos integrar e depois trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a . Se desenharmos isso no plano , teremos duas linhas:
Essas linhas se cruzam no ponto onde (ou seja, na origem) e se estendem até . A região de integração é o “triângulo” entre essas duas linhas, de a .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a integral0^2 integralx2^x e^x , dy , dx e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites:
  • vai de 0 a 2 (já que quando , ).
  • Para um dado , varia de a (derivado das equações e ).
Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a nova integral. Primeiro, integramos integralx2^x e^x , dy = e^x cdot ( y ) g|x2^x = e^x cdot ( x - x2 ) = x2 e^x em relação a integral0^2 x2 e^x , dx = 12 integral0^2 x e^x , dx :
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Agora, integramos isso em relação a integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C :
12 [ x e^x - e^x ]0^2 = 12 ( (2 e^2 - e^2) - (0 - 1) ) = 12 ( e^2 + 1 )
Para resolver , usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Agora aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

A integral vale .

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