Calcule as integrais iteradas abaixo: integral-2^4 integral0^1 x e^y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla aqui: . Esse exercício é de cálculo, mais especificamente de integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras grandezas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em duas etapas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^1 x e^y , dy = x [ e^y ]0^1 = x (e^1 - e^0) = x (e - 1) . Nessa etapa, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a . A função que vamos integrar é .
A integral de em relação a é simplesmente , então:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral-2^4 x (e - 1) , dx = (e - 1) integral-2^4 x , dx , de (e - 1) [ 12x^2 ]-2^4 = (e - 1) ( 12(4)^2 - 12(-2)^2 ) a = (e - 1) ( 12(16) - 12(4) ) = (e - 1) (8 - 2) = (e - 1)(6) . A expressão que temos agora é .
Como é uma constante, podemos fatorar:
A integral de em relação a é , então:
Calculando os valores:

Resposta

A integral vale .

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