Calcule as integrais iteradas abaixo: integral1^9 integral1^e ln raizxx y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla! O enunciado pede para calcular a integral iterada . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como integrar funções com mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que ln raizxx y = 12 ln xx y = ln x2 x y é o mesmo que . Então, a função que vamos integrar fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral ln xx , dx = (ln x)^22 + C , mantendo integral1^e ln x2 x y , dx = 12 y cdot (ln x)^22 |1^e como constante. A integral de em relação a é uma integral conhecida:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 4

Vamos calcular os limites da integral:
Para ln e = 1 Rightarrow (ln e)^2 = 1 :
ln 1 = 0 Rightarrow (ln 1)^2 = 0
Para 12 y cdot 1 - 02 = 14 y :
Substituindo esses valores:

Passo 5

Agora, temos que integrar integral1^9 14 y , dy = 14 integral1^9 1y , dy = 14 ln y |1^9 em relação a de 1 a 9:

Passo 6

Calculando os limites da integral:
Para ln 9 :
ln 1 = 0
Para 14 (ln 9 - 0) = ln 94 :
Então:

Resposta

A integral dupla vale .

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