Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está definida no retângulo . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de integrais duplas e entender como manipular funções absolutas e trigonométricas dentro da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que vamos integrar: . A parte significa que estamos usando o valor absoluto de , e é uma função trigonométrica que depende de . Nosso objetivo é integrar essa função sobre a região .

Passo 3

Como a região é um retângulo definido por indo de 0 a 2 e indo de -1 a 0, podemos configurar a integral dupla como uma iterada, ou seja, integramos primeiro em relação a e depois em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a . Note que em de -1 a 0 é igual a (já que é negativo nessa faixa):

Passo 5

Calculando a integral de em relação a :
Então, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:

Passo 7

Vamos resolver a integral de em relação a :
Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 8

Multiplicando pelo fator que estava fora da integral:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :