Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está definida no retângulo
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função
sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de integrais duplas e entender como manipular funções absolutas e trigonométricas dentro da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que vamos integrar:
. A parte
significa que estamos usando o valor absoluto de
, e
é uma função trigonométrica que depende de
. Nosso objetivo é integrar essa função sobre a região
.
Passo 3
Como a região
é um retângulo definido por
indo de 0 a 2 e
indo de -1 a 0, podemos configurar a integral dupla como uma iterada, ou seja, integramos primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Note que
em
de -1 a 0 é igual a
(já que
é negativo nessa faixa):
Passo 5
Calculando a integral de
em relação a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos resolver a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 8
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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