Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,2] times[-1,0] : integral duplaR|y| cos (pi x4) d A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está definida no retângulo . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de integrais duplas e entender como manipular funções absolutas e trigonométricas dentro da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que vamos integrar: . A parte significa que estamos usando o valor absoluto de , e é uma função trigonométrica que depende de . Nosso objetivo é integrar essa função sobre a região .

Passo 3

Como a região integral duplaR |y| cos(pi x4) , dA = integral0^2 ( integral-1^0 |y| cos(pi x4) , dy ) dx é um retângulo definido por indo de 0 a 2 e indo de -1 a 0, podemos configurar a integral dupla como uma iterada, ou seja, integramos primeiro em relação a e depois em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral-1^0 |y| cos(pi x4) , dy = cos(pi x4) integral-1^0 (-y) , dy . Note que em de -1 a 0 é igual a (já que é negativo nessa faixa):

Passo 5

Calculando a integral de integral-1^0 (-y) , dy = [ -y^22 ]-1^0 = -0^22 + (-1)^22 = 12 em relação a cos(pi x4) times 12 = 12 cos(pi x4) :
Então, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral0^2 12 cos(pi x4) , dx = 12 integral0^2 cos(pi x4) , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral de integral cos(pi x4) , dx = 4pi sin(pi x4) + C em relação a 4pi [ sin(pi times 24) - sin(pi times 04) ] = 4pi [ sin(pi2) - 0 ] = 4pi times 1 = 4pi :
Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 8

Multiplicando pelo fator 12 times 4pi = 2pi que estava fora da integral:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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