Integre a função
sobre a região triangular cujos vértices são
e
.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício de cálculo integral. A questão pede para integrar a função
sobre uma região triangular no plano, que tem os vértices nos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas, que nos permitem calcular o volume sob a superfície dada pela função
na área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso significa que os lados do triângulo estão alinhados nos eixos
e
, e uma diagonal que conecta
a
.
Passo 3
Precisamos determinar as expressões que definem os limites de integração. Para isso, vamos resolver a equação da reta que passa por
e
. A inclinação dessa reta é
. Então, a equação da reta é
.
Passo 4
Agora, definimos os limites de integração para
e
. O
varia de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de 0 até a reta
.
Passo 5
Vamos montar a integral dupla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a
, mantendo
constante.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Avaliado de
até
, temos:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão:
Distribuindo o sinal negativo:
Combinando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Passo 9
Avaliado de
a
:
Calculando cada termo:
Passo 10
Agora, somamos os termos:
Então:
Resposta
A integral da função
sobre a região triangular dada é
.
Exercícios relacionados
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo: