Integre a função sobre a região triangular cujos vértices são e .

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de cálculo integral. A questão pede para integrar a função sobre uma região triangular no plano, que tem os vértices nos pontos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas, que nos permitem calcular o volume sob a superfície dada pela função na área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que os lados do triângulo estão alinhados nos eixos e , e uma diagonal que conecta a .

Passo 3

Precisamos determinar as expressões que definem os limites de integração. Para isso, vamos resolver a equação da reta que passa por e . A inclinação dessa reta é . Então, a equação da reta é .

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração para e . O varia de 0 a 2. Para cada valor de , varia de 0 até a reta .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Integrando em relação a :
Avaliado de até , temos:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão:
Distribuindo o sinal negativo:
Combinando termos semelhantes:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:

Passo 9

Avaliado de a :
Calculando cada termo:

Passo 10

Agora, somamos os termos:
Então:

Resposta

A integral da função sobre a região triangular dada é .

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Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Calcule as integrais iteradas abaixo:
Calcule as integrais iteradas abaixo:
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