Determine o ponto do esfera de equaçāo que esteja mais próximo do ponto .
Passo 1
Vamos entender o problema: Precisamos encontrar o ponto na esfera de equação que está mais próximo do ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria e otimização.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a esfera tem raio . A distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
Queremos minimizar essa distância .
Passo 3
Para simplificar os cálculos, vamos minimizar ao invés de , já que a raiz quadrada é uma função crescente e a minimização será a mesma:
Passo 4
Como o ponto está na esfera, ele deve satisfazer a equação da esfera:
Passo 5
Para encontrar o ponto que minimiza com a restrição da esfera, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangeano:
Passo 6
Derivamos parcialmente a função Lagrangeano em relação a , , e e igualamos a zero:
Passo 7
Simplificamos as equações:
Passo 8
Expressamos , e em função de :
Passo 9
Substituímos essas expressões na equação da esfera: