Determine o ponto do esfera de equaçāo que esteja mais próximo do ponto .

Passo 1

Vamos entender o problema: Precisamos encontrar o ponto na esfera de equação que está mais próximo do ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria e otimização.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a esfera tem raio . A distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
Queremos minimizar essa distância .

Passo 3

Para simplificar os cálculos, vamos minimizar ao invés de , já que a raiz quadrada é uma função crescente e a minimização será a mesma:

Passo 4

Como o ponto está na esfera, ele deve satisfazer a equação da esfera:

Passo 5

Para encontrar o ponto que minimiza com a restrição da esfera, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangeano:

Passo 6

Derivamos parcialmente a função Lagrangeano em relação a , , e e igualamos a zero:

Passo 7

Simplificamos as equações:

Passo 8

Expressamos , e em função de :

Passo 9

Substituímos essas expressões na equação da esfera:
Simplificando:

Passo 10

Resolvemos para :

Passo 11

Agora, substituímos nas expressões de , e :

Resposta

O ponto na esfera mais próximo de é .

Exercícios relacionados

Determine o ponto do paraboloide de equação
que esteja mais próximo do ponto .
Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
Quais das seguintes leis de formação definem funções afim?