Calcule as integrais iteradas.
integral0^3 integral-2^-1(4 x y^3+y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla, que basicamente significa que a gente vai calcular a área (ou volume) de uma função em duas dimensões. O enunciado pede para calcular a integral de primeiro em relação a de a e depois em relação a de a . Vamos precisar usar as regras de integrais iteradas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a . A expressão que vamos integrar é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separarar a integral em duas partes para facilitar:
integral-2^-1 (4xy^3) , dx + integral-2^-1 y , dx
Para a primeira parte, 4y^3 cdot x^22 = 2y^3x^2 é uma constante multiplicando y cdot x , então a integral de em relação a é:
Para a segunda parte, é uma constante, então a integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, avaliamos essas integrais nos limites de 2y^3(-1)^2 - 2y^3(-2)^2 + y(-1) - y(-2) a 2y^3(1) - 2y^3(4) + (-y) - (-2y) = 2y^3 - 8y^3 - y + 2y = -6y^3 + y :
Calculando cada termo:

Passo 5

Agora que resolvemos a integral interna, vamos para a integral externa em relação a integral0^3 (-6y^3 + y) , dy . A expressão resultante é -6 cdot y^44 + y^22 = -32y^4 + 12y^2 , e vamos integrar isso de a :
Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 6

Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de -32(3)^4 + 12(3)^2 - ( -32(0)^4 + 12(0)^2 ) a -32(81) + 12(9) = -121.5 + 4.5 = -117 :
Calculando os valores:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Expresse a integral dupla sobre a região R indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
integral duplaR(y+2 x) d A; na região retangular de vértices (-1,-1),(2,-1),(2,4),(-1,4).
Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=raizx, x=4, y=0
11a) d^3/dx^3 (x^9)
Calcule as integrais iteradas.
integral0^1 integral-y-1^y-1(x^2+y^2) d x d y