Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla, que basicamente significa que a gente vai calcular a área (ou volume) de uma função em duas dimensões. O enunciado pede para calcular a integral de
primeiro em relação a
de
a
e depois em relação a
de
a
. Vamos precisar usar as regras de integrais iteradas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. A expressão que vamos integrar é
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos separarar a integral em duas partes para facilitar:
Para a primeira parte,
é uma constante multiplicando
, então a integral de
em relação a
é:
Para a segunda parte,
é uma constante, então a integral de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, avaliamos essas integrais nos limites de
a
:
Calculando cada termo:
Passo 5
Agora que resolvemos a integral interna, vamos para a integral externa em relação a
. A expressão resultante é
, e vamos integrar isso de
a
:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de
a
:
Calculando os valores:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Expresse a integral dupla sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
; na região retangular de vértices
.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
11a)
Calcule as integrais iteradas.