Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral iterada
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis,
e
. Para resolver isso, vamos primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integração interna, que é em relação a
. A função que vamos integrar é
. Lembre-se que, ao integrar em relação a
, tratamos
como uma constante.
A antiderivada de
em relação a
é
e a antiderivada de
em relação a
é
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar os limites de integração para
, que vão de
a
. Substituímos esses valores na antiderivada que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte dessa expressão separadamente. Primeiro, expandimos
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Vamos simplificar cada grupo:
Primeiro grupo:
Segundo grupo:
Passo 6
Agora, subtraímos o segundo grupo do primeiro:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a
no intervalo de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliando de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
11a)
Calcule as integrais iteradas.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.