Calcule as integrais iteradas.
integral0^1 integral-y-1^y-1(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral iterada
integral0^1 integral-y-1^y-1(x^2+y^2) dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis, e . Para resolver isso, vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração interna, que é em relação a integral (x^2 + y^2) dx = x^33 + y^2x . A função que vamos integrar é . Lembre-se que, ao integrar em relação a , tratamos como uma constante.
A antiderivada de em relação a é e a antiderivada de em relação a é . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração para [(y-1)^33 + y^2(y-1)] - [(-y-1)^33 + y^2(-y-1)] , que vão de a . Substituímos esses valores na antiderivada que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte dessa expressão separadamente. Primeiro, expandimos (y-1)^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1 e (-y-1)^3 = -(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = -y^3 - 3y^2 - 3y - 1 :
Para [y^3 - 3y^2 + 3y - 13 + y^3 - y^2] - [-y^3 - 3y^2 - 3y - 13 - y^3 - y^2] :
Para :
Substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Vamos simplificar cada grupo:
Primeiro grupo:
y^33 - y^2 + y - 13 + y^3 - y^2 = 4y^33 - 2y^2 + y - 13
Segundo grupo:
-y^33 - y^2 - y - 13 - y^3 - y^2 = -4y^33 - 2y^2 - y - 13

Passo 6

Agora, subtraímos o segundo grupo do primeiro:
(4y^33 - 2y^2 + y - 13) - (-4y^33 - 2y^2 - y - 13) = 8y^33 + 2y

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 (8y^33 + 2y) dy no intervalo de 0 a 1:
83 cdot y^44 + 2 cdot y^22 = 2y^43 + y^2
Vamos integrar termo a termo:
(2(1)^43 + (1)^2) - (2(0)^43 + (0)^2) = 23 + 1 = 53
Avaliando de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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y=raiz1-x^2, y=0