Calcule as integrais iteradas. integral0^2 integral-x^x x^3 y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que envolvem calcular uma integral dentro de outra. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: x^3 integral-x^x y^2 , dy . Note que é uma constante em relação a , então podemos tirá-lo da integral:

Passo 3

Agora, precisamos integrar (x)^33 - (-x)^33 = x^33 - (-x^33) = x^33 + x^33 = 2x^33 em relação a . A integral de é . Vamos calcular isso nos limites de a :

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna de volta, temos:
x^3 cdot 2x^33 = 2x^63
Agora, nossa integral dupla se reduz a:
integral0^2 2x^63 , dx

Passo 5

Vamos calcular essa integração em relação a 23 cdot x^77 = 2x^721 . A integral de 2(2)^721 - 2(0)^721 = 2 cdot 12821 - 0 = 25621 é . Então, multiplicando pela constante :
Agora, avaliamos isso de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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