Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
integral duplaR x^2x^2+y^2 d A, em que R é a região anular limitada por x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2, 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaR x^2x^2+y^2 , dA
onde é a região anular limitada pelas circunferências e , com . Vamos precisar usar a transformação para coordenadas polares e entender como mudar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, e , onde é a distância ao ponto e é o ângulo. Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 3

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares. Temos:
x^2x^2+y^2 = (r costheta)^2r^2 = r^2 cos^2thetar^2 = cos^2theta
Então, a integral fica:
integral duplaR cos^2theta cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região a <= r <= b e 0 <= theta <= 2pi é anular, entre e , e varia de a para cobrir toda a circunferência. Portanto, os limites são:

Passo 5

Vamos então escrever a integral com esses limites:
integral0^2pi integrala^b cos^2theta cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a integrala^b r , dr = [ r^22 ]a^b = b^2 - a^22 . A integral em é:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral:
b^2 - a^22 integral0^2pi cos^2theta , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral de cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 em relação a integral0^2pi 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral0^2pi 1 , dtheta + 12 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta . Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 9

Calculando cada parte:
12 integral0^2pi 1 , dtheta = 12 cdot 2pi = pi
12 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = 12 cdot 0 = 0
Portanto, a integral de de a é .

Passo 10

Voltando à nossa expressão anterior:
b^2 - a^22 cdot pi = pi(b^2 - a^2)2

Passo 11

Então, a integral solicitada é:
integral duplaR x^2x^2+y^2 , dA = pi(b^2 - a^2)2

Resposta

A integral vale .

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