Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que
é a região anular limitada por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a região anular limitada pelas circunferências
e
, com
. Vamos precisar usar a transformação para coordenadas polares e entender como mudar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas,
e
, onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 3
Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares. Temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região
é anular, entre
e
, e
varia de
a
para cobrir toda a circunferência. Portanto, os limites são:
Passo 5
Vamos então escrever a integral com esses limites:
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral em
é:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Passo 8
Vamos resolver a integral de
em relação a
. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 9
Calculando cada parte:
Portanto, a integral de
de
a
é
.
Passo 10
Voltando à nossa expressão anterior:
Passo 11
Então, a integral solicitada é:
Resposta
A integral vale
.