Se T(x, y) for a temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa delgada de metal, então as curvas de nível de T(x, y) são as curvas isotérmicas. Suponha uma placa ocupando o primeiro quadrante de um plano munido de coordenadas cartesianas e T(x, y) = x * y. Esboce as curvas isotérmicas para T=1, T=2 e T = 3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função temperatura que descreve como a temperatura varia em uma placa metálica no primeiro quadrante do plano cartesiano. O conteúdo principal aqui envolve funções de duas variáveis e curvas de nível. Precisaremos usar a definição de curvas isotérmicas para resolver o problema.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar o que é uma curva de nível ou curva isotérmica. É o conjunto de pontos (x, y) onde a temperatura T é constante. Ou seja, para um valor fixo de T, temos a equação .

Passo 3

Vamos resolver a equação para diferentes valores de T (1, 2, 3) para encontrar as curvas isotérmicas correspondentes.

Passo 4

Para : a equação fica , que podemos reescrever como .

Passo 5

Para : a equação vira , ou seja, .

Passo 6

Para : a equação será , então .

Passo 7

Agora, vamos interpretar essas equações. Todas elas são hipérboles do tipo , onde k é uma constante. Isso significa que as curvas isotérmicas para , T = 2 e T = 3 são hipérboles que ficam no primeiro quadrante e se aproximam dos eixos à medida que x aumenta.

Resposta

As curvas isotérmicas são as hipérboles , e para , T = 2 e T = 3, respectivamente.

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