Se
for a temperatura em um ponto
sobre uma placa delgada de metal, então as curvas de nível de
são as curvas isotérmicas. Suponha uma placa ocupando o primeiro quadrante de um plano munido de coordenadas cartesianas e
. Esboce as curvas isotérmicas para
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função temperatura
que descreve como a temperatura varia em uma placa metálica no primeiro quadrante do plano cartesiano. O conteúdo principal aqui envolve funções de duas variáveis e curvas de nível. Precisaremos usar a definição de curvas isotérmicas para resolver o problema.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar o que é uma curva de nível ou curva isotérmica. É o conjunto de pontos
onde a temperatura
é constante. Ou seja, para um valor fixo de
, temos a equação
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para diferentes valores de
(1, 2, 3) para encontrar as curvas isotérmicas correspondentes.
Passo 4
Para
: a equação fica
, que podemos reescrever como
.
Passo 5
Para
: a equação vira
, ou seja,
.
Passo 6
Para
: a equação será
, então
.
Passo 7
Agora, vamos interpretar essas equações. Todas elas são hipérboles do tipo
, onde
é uma constante. Isso significa que as curvas isotérmicas para
,
e
são hipérboles que ficam no primeiro quadrante e se aproximam dos eixos à medida que
aumenta.
Resposta
As curvas isotérmicas são as hipérboles
,
e
para
,
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto
.
Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Calcule as integrais iteradas.
Esboce a região cuja área é dada pela integral