Se for a temperatura em um ponto sobre uma placa delgada de metal, então as curvas de nível de são as curvas isotérmicas. Suponha uma placa ocupando o primeiro quadrante de um plano munido de coordenadas cartesianas e . Esboce as curvas isotérmicas para e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função temperatura que descreve como a temperatura varia em uma placa metálica no primeiro quadrante do plano cartesiano. O conteúdo principal aqui envolve funções de duas variáveis e curvas de nível. Precisaremos usar a definição de curvas isotérmicas para resolver o problema.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar o que é uma curva de nível ou curva isotérmica. É o conjunto de pontos onde a temperatura é constante. Ou seja, para um valor fixo de , temos a equação .

Passo 3

Vamos resolver a equação para diferentes valores de (1, 2, 3) para encontrar as curvas isotérmicas correspondentes.

Passo 4

Para : a equação fica , que podemos reescrever como .

Passo 5

Para : a equação vira , ou seja, .

Passo 6

Para : a equação será , então .

Passo 7

Agora, vamos interpretar essas equações. Todas elas são hipérboles do tipo , onde é uma constante. Isso significa que as curvas isotérmicas para , e são hipérboles que ficam no primeiro quadrante e se aproximam dos eixos à medida que aumenta.

Resposta

As curvas isotérmicas são as hipérboles , e para , e , respectivamente.

Exercícios relacionados

Seja . Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto .
Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Calcule as integrais iteradas.
Esboce a região cuja área é dada pela integral