Esboce a região cuja área é dada pela integral

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa esboçar a região cuja área é definida pela integral dupla:
Isso envolve cálculo em coordenadas polares, o que significa que vamos trabalhar com raios ( ) e ângulos ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como esses limites definem uma área no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de . A integral vai de até . Isso significa que estamos considerando uma faixa circular que começa no círculo de raio 1 e vai até o círculo de raio 2. Imagine dois círculos concêntricos, um menor dentro do outro.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de . A integral vai de até . Esses valores de correspondem a ângulos no sistema de coordenadas polares:
  • é 45 graus.
  • é 135 graus.
Isso significa que estamos considerando apenas a parte do círculo que está entre esses dois ângulos.

Passo 4

Juntando os dois conjuntos de limites, temos uma anel (ou faixa) circular entre os raios 1 e 2, cortada pelos ângulos de 45 e 135 graus. Visualmente, isso parece um “fatia de pizza” em forma de anel, limitado nas direções de 45 e 135 graus.

Passo 5

Para esboçar essa região:
  1. Desenhe dois círculos concêntricos: um com raio 1 e outro com raio 2.
  2. Marque os ângulos de 45 graus ( ) e 135 graus ( ) no círculo maior.
  3. Conecte esses pontos nos círculos menor e maior para formar as “paredes” da região.
  4. A área entre esses dois círculos e limitada pelos dois ângulos é a região que estamos interessados em esboçar.

Resposta

A região é uma fatia de anel entre os círculos de raio 1 e 2, limitada pelos ângulos de 45 graus ( ) e 135 graus ( ). Visualmente, imagine um anel com uma “fatia” cortada entre esses dois ângulos, formando uma área em formato de segmento circular.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas.
Se for a temperatura em um ponto sobre uma placa delgada de metal, então as curvas de nível de são as curvas isotérmicas. Suponha uma placa ocupando o primeiro quadrante de um plano munido de coordenadas cartesianas e . Esboce as curvas isotérmicas para e .
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que é a região anular limitada por e
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que é a região limitada pelo círculo