Calcule as integrais iteradas:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes em regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar em duas dimensões, primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
constante. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, a integral interna fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir os limites de integração na expressão que encontramos:
Simplificando cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, a integral dupla se reduz a integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 6
Vamos substituir os limites de integração:
Para
:
Para
: