Calcule as integrais iteradas:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes em regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar em duas dimensões, primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
constante. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, a integral interna fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir os limites de integração na expressão que encontramos:
Simplificando cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, a integral dupla se reduz a integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 6
Vamos substituir os limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto dado. Desenhe as superfícies no SciLab ou GeoGebra ou ainda algum outro software:
.
Dada a equação
, sendo
será expressa por:
(a)
(b)
(a)
(b)
Inverta a ordem de integração:
.
Chama-se custo médio
de fabricação de um produto o custo de produção dividido pela quantidade produzida. Considere o custo de produção dado por:
À medida que se aumenta a quantidade de unidades produzidas, o custo médio tende para o valor de:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)