Calcule as integrais iteradas: integral0^1 integralx^2-x x^2-y d y d x Resp.: -5 / 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes em regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar em duas dimensões, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integralx^2 - x (x^2 - y) , dy = [ x^2y - 12y^2 ]y = x^y = 2 - x em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir os limites de integração na expressão que encontramos:
[ x^2(2 - x) - 12(2 - x)^2 ] - [ x^2(x) - 12x^2 ]
Simplificando cada parte:
x^2(2 - x) = 2x^2 - x^3
12(2 - x)^2 = 12(4 - 4x + x^2) = 2 - 2x + 12x^2
x^2(x) = x^3
12x^2 = 12x^2
Substituindo de volta:
(2x^2 - x^3) - (2 - 2x + 12x^2) - (x^3 - 12x^2)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
2x^2 - x^3 - 2 + 2x - 12x^2 - x^3 + 12x^2
Simplificando os termos semelhantes:
2x^2 - 12x^2 + 12x^2 - x^3 - x^3 + 2x - 2
(2x^2) - (2x^3) + 2x - 2

Passo 5

Agora, a integral dupla se reduz a integrar essa expressão em relação a integral0^1 (2x^2 - 2x^3 + 2x - 2) dx de 0 a 1:
integral 2x^2 , dx = 23x^3
Vamos integrar termo a termo:
integral -2x^3 , dx = -24x^4 = -12x^4
integral 2x , dx = x^2
integral -2 , dx = -2x
[ 23x^3 - 12x^4 + x^2 - 2x ]0^1
Então:

Passo 6

Vamos substituir os limites de integração:
Para 23(1)^3 - 12(1)^4 + (1)^2 - 2(1) = 23 - 12 + 1 - 2 :
= 23 - 12 - 1
= 46 - 36 - 66 = -56
23(0) - 12(0) + (0) - 2(0) = 0
Para :

Resposta

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