Inverta a ordem de integração: integral0^1[integraly^y+3 f(x, y) d x] d y.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral, mais especificamente sobre mudança na ordem de integração em uma integral dupla. A gente vai trabalhar com a seguinte integral:
integral0^1[integraly^y+3 f(x, y) , dx] dy
A ideia é trocar a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender bem a região de integração no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. No enunciado original, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Isso quer dizer que a região de integração é limitada pelas retas:
Vamos desenhar essas retas no plano para entender melhor a área que estamos integrando.

Passo 3

Agora que temos a região de integração bem entendida, vamos trocar a ordem das integrais. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para fazer isso, precisamos determinar novos limites para e .
Observando as retas que delimitam a região:
  • vai de 0 até 4, porque quando , vai até 3, e quando , vai até 4.
  • Para cada valor de , varia de até .
Isso significa que precisamos dividir a integral em três partes diferentes para cobrir todo o intervalo de :
  1. De até , onde varia de 0 até .
  2. De até , onde varia de 0 até 1.
  3. De até , onde varia de até 1.

Resposta

Após inverter a ordem de integração, a integral fica:
integral0^1 [ integral0^x f(x, y) , dy ] dx + integral1^3 [ integral0^1 f(x, y) , dy ] dx + integral3^4 [ integralx - 3^1 f(x, y) , dy ] dx

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