Inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral, mais especificamente sobre mudança na ordem de integração em uma integral dupla. A gente vai trabalhar com a seguinte integral:
A ideia é trocar a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender bem a região de integração no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. No enunciado original,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
. Isso quer dizer que a região de integração é limitada pelas retas:
Vamos desenhar essas retas no plano
para entender melhor a área que estamos integrando.
Passo 3
Agora que temos a região de integração bem entendida, vamos trocar a ordem das integrais. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para fazer isso, precisamos determinar novos limites para
e
.
Observando as retas que delimitam a região:
-
vai de 0 até 4, porque quando , vai até 3, e quando , vai até 4. - Para cada valor de
, varia de até .
Isso significa que precisamos dividir a integral em três partes diferentes para cobrir todo o intervalo de
:
- De
até , onde varia de 0 até . - De
até , onde varia de 0 até 1. - De
até , onde varia de até 1.
Resposta
Após inverter a ordem de integração, a integral fica:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas:
Resp.:
Calcule o volume do conjunto dado. Desenhe as superfícies no SciLab ou GeoGebra ou ainda algum outro software:
.
Chama-se custo médio
de fabricação de um produto o custo de produção dividido pela quantidade produzida. Considere o custo de produção dado por:
À medida que se aumenta a quantidade de unidades produzidas, o custo médio tende para o valor de:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
e)
e)