Inverta a ordem de integração: .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral, mais especificamente sobre mudança na ordem de integração em uma integral dupla. A gente vai trabalhar com a seguinte integral:
A ideia é trocar a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender bem a região de integração no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. No enunciado original, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Isso quer dizer que a região de integração é limitada pelas retas:
Vamos desenhar essas retas no plano para entender melhor a área que estamos integrando.

Passo 3

Agora que temos a região de integração bem entendida, vamos trocar a ordem das integrais. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para fazer isso, precisamos determinar novos limites para e .
Observando as retas que delimitam a região:
  • vai de 0 até 4, porque quando , vai até 3, e quando , vai até 4.
  • Para cada valor de , varia de até .
Isso significa que precisamos dividir a integral em três partes diferentes para cobrir todo o intervalo de :
  1. De até , onde varia de 0 até .
  2. De até , onde varia de 0 até 1.
  3. De até , onde varia de até 1.

Resposta

Após inverter a ordem de integração, a integral fica:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas: Resp.:
Calcule o volume do conjunto dado. Desenhe as superfícies no SciLab ou GeoGebra ou ainda algum outro software: .
Chama-se custo médio de fabricação de um produto o custo de produção dividido pela quantidade produzida. Considere o custo de produção dado por: À medida que se aumenta a quantidade de unidades produzidas, o custo médio tende para o valor de:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
e)