Calcule o volume do conjunto dado. Desenhe as superfícies no SciLab ou GeoGebra ou ainda algum outro software:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional definido por certas condições nas coordenadas
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Além disso, você vai precisar de um software como o GeoGebra ou SciLab para desenhar as superfícies envolvidas e visualizar melhor o conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que o conjunto está descrevendo. Ele é dado por:
Isso significa que
e
variam de 0 a 1, e para cada ponto
dentro desse quadrado,
vai de 0 até
. Então, o volume será a “soma” de todas essas pequenas alturas
sobre cada ponto
.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla. Mas como
já está expressa em termos de
e
, podemos simplificar para uma integral dupla, multiplicando
pela área em
e
. Então, a fórmula para o volume
será:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
A integral de
em relação a
é simples:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para a primeira integral
, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral se torna:
Para a segunda integral
, notamos que
é uma constante, então podemos tirar para fora da integral:
Usando a mesma substituição
, temos:
Passo 7
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão para
:
Calculando os limites para ambas as integrais:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do conjunto é
.
Exercícios relacionados
Dada a equação
, sendo
será expressa por:
(a)
(b)
(a)
(b)
Seja
. Sabendo que
é função implícita de
, calcule
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule as integrais iteradas:
Resp.:
Inverta a ordem de integração:
.