Calcule o volume do conjunto dado. Desenhe as superfícies no SciLab ou GeoGebra ou ainda algum outro software: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional definido por certas condições nas coordenadas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Além disso, você vai precisar de um software como o GeoGebra ou SciLab para desenhar as superfícies envolvidas e visualizar melhor o conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que o conjunto está descrevendo. Ele é dado por:
Isso significa que e variam de 0 a 1, e para cada ponto dentro desse quadrado, vai de 0 até . Então, o volume será a “soma” de todas essas pequenas alturas sobre cada ponto .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla. Mas como já está expressa em termos de e , podemos simplificar para uma integral dupla, multiplicando pela área em e . Então, a fórmula para o volume será:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna . Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:
A integral de em relação a é simples:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para a primeira integral , fazemos a substituição , então , ou seja, . A integral se torna:
Para a segunda integral , notamos que é uma constante, então podemos tirar para fora da integral:
Usando a mesma substituição , temos:

Passo 7

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão para :
Calculando os limites para ambas as integrais:
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do conjunto é .

Exercícios relacionados

Dada a equação , sendo será expressa por:
(a)
(b)
Seja . Sabendo que é função implícita de , calcule .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule as integrais iteradas: Resp.:
Inverta a ordem de integração: .