Calcule o volume do conjunto dado. Desenhe as superfícies no SciLab ou GeoGebra ou ainda algum outro software: (x, y, z) in R^3 mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= xy e^x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional definido por certas condições nas coordenadas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Além disso, você vai precisar de um software como o GeoGebra ou SciLab para desenhar as superfícies envolvidas e visualizar melhor o conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que o conjunto está descrevendo. Ele é dado por:
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= xy e^x^2-y^2
Isso significa que e variam de 0 a 1, e para cada ponto dentro desse quadrado, vai de 0 até . Então, o volume será a “soma” de todas essas pequenas alturas sobre cada ponto .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla. Mas como V = integral0^1 integral0^1 xy e^x^2-y^2 , dy , dx já está expressa em termos de e , podemos simplificar para uma integral dupla, multiplicando pela área em e . Então, a fórmula para o volume será:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna integral0^1 x e^x^2-u cdot du2 = x2 integral0^1 e^x^2-u , du . Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja x2 [ -e^x^2-u ]0^1 = x2 ( -e^x^2-1 + e^x^2 ) = x2 ( e^x^2 - e^x^2-1 ) , então , ou seja, . Substituindo na integral:
A integral de em relação a é simples:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
V = integral0^1 x2 ( e^x^2 - e^x^2-1 ) , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
V = 12 ( integral0^1 x e^x^2 , dx - integral0^1 x e^x^2-1 , dx )

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para a primeira integral 12 integral e^v , dv = 12 e^v + C = 12 e^x^2 + C , fazemos a substituição e^-1 integral x e^x^2 , dx , então e^-1 cdot 12 e^x^2 + C = e^-12 e^x^2 + C , ou seja, . A integral se torna:
Para a segunda integral , notamos que é uma constante, então podemos tirar para fora da integral:
Usando a mesma substituição , temos:

Passo 7

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão para V = 12 ( [ 12 e^x^2 ]0^1 - [ e^-12 e^x^2 ]0^1 ) :
[ 12 e^x^2 ]0^1 = 12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1)
Calculando os limites para ambas as integrais:
[ e^-12 e^x^2 ]0^1 = e^-12 ( e^1 - e^0 ) = e^-12 (e - 1) = 12 (1 - e^-1)
V = 12 ( 12 (e - 1) - 12 (1 - e^-1) ) = 14 ( e - 1 - 1 + e^-1 ) = 14 (e + e^-1 - 2)
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do conjunto é .

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