Suponha que
representa a densidade linear num ponto
de um arame fino com o formato de uma curva
.
valor da massa
do arame é dado por
centro de massa do arame com função densidade
está localizado no ponto
, onde
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência
. Se a densidade linear por uma constante
, determine a massa e o centro de massa do arame.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a massa e o centro de massa de um arame fino que forma uma semicircunferência. Usaremos conceitos de cálculo integral relacionados a densidade linear e centro de massa. Precisaremos entender como calcular integrais ao longo de uma curva e aplicar fórmulas para o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa
do arame. Sabemos que a densidade linear
é constante e igual a
. A fórmula para a massa é:
Como
é constante, podemos tirar
da integral:
A integral
representa o comprimento da curva
.
Passo 3
A curva
é uma semicircunferência de raio 2 (já que
). O comprimento de uma circunferência completa é
. Para uma semicircunferência, o comprimento é a metade disso:
Com
:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o centro de massa
. As fórmulas são:
Como
é constante, podemos simplificar:
Passo 6
Vamos calcular
primeiro. Devido à simetria da semicircunferência em relação ao eixo
, os valores positivos e negativos de
se cancelam:
Passo 7
Agora, calculamos
. Para uma semicircunferência de raio 2 no lado positivo de
:
Sabemos que em coordenadas polares,
e
. Com
e
variando de
a
:
Mas isso não parece correto. Vamos reconsiderar:
Na verdade, devido à simetria, o valor de
não pode ser zero. O erro está na parametrização. O correto é considerar que
varia de 0 a 2, e a integral de
ao longo da semicircunferência resulta em:
Resposta
A massa do arame é
e o centro de massa está localizado no ponto
.
Exercícios relacionados
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Calcule as integrais iteradas.
Expresse a integral dupla sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
; na região triangular de vértices
.
Calcule as integrais iteradas.