Suponha que rho(x, y) representa a densidade linear num ponto (x, y) de um arame fino com o formato de uma curva C. O valor da massa m do arame é dado por
m=integralC rho(x, y) d s
O centro de massa do arame com função densidade rho está localizado no ponto (barx, bary), onde
barx=1m integralC x rho(x, y) d s bary=1m integralC y rho(x, y) d s
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência x^2+y^2=4, x >= 0. Se a densidade linear por uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame.
m=2 k pi ; barx=4pi ; bary=0

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a massa e o centro de massa de um arame fino que forma uma semicircunferência. Usaremos conceitos de cálculo integral relacionados a densidade linear e centro de massa. Precisaremos entender como calcular integrais ao longo de uma curva e aplicar fórmulas para o centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa m = integralC rho(x, y) , ds do arame. Sabemos que a densidade linear m = k integralC ds é constante e igual a . A fórmula para a massa é:
Como é constante, podemos tirar da integral:
A integral representa o comprimento da curva .

Passo 3

A curva integralC ds = pi r é uma semicircunferência de raio 2 (já que integralC ds = pi times 2 = 2pi ). O comprimento de uma circunferência completa é . Para uma semicircunferência, o comprimento é a metade disso:
Com :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão para m = k times 2pi = 2kpi :

Passo 5

Agora, vamos calcular o centro de massa barx = 1m integralC x rho(x, y) , ds e bary = 1m integralC y rho(x, y) , ds . As fórmulas são:
barx = km integralC x , ds e bary = km integralC y , ds
Como é constante, podemos simplificar:

Passo 6

Vamos calcular integralC y , ds = 0 Rightarrow bary = 0 primeiro. Devido à simetria da semicircunferência em relação ao eixo , os valores positivos e negativos de se cancelam:

Passo 7

Agora, calculamos barx = km integralC x , ds . Para uma semicircunferência de raio 2 no lado positivo de integralC x , ds = integral0^pi 2costheta times 2 dtheta = 4 integral0^pi costheta , dtheta :
= 4 [sintheta]0^pi = 4 (0 - 0) = 0
Sabemos que em coordenadas polares, barx = 4pi e . Com e variando de a :
Mas isso não parece correto. Vamos reconsiderar:
Na verdade, devido à simetria, o valor de não pode ser zero. O erro está na parametrização. O correto é considerar que varia de 0 a 2, e a integral de ao longo da semicircunferência resulta em:

Resposta

A massa do arame é e o centro de massa está localizado no ponto .

Exercícios relacionados

Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=x^3, x=2, y=0
Calcule as integrais iteradas.
integral1^2 integralx^3^x e^y / x d y d x
Expresse a integral dupla sobre a região R indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
integral duplaR x y^2 d A; na região triangular de vértices (0,0),(3,1),(-2,1).
Calcule as integrais iteradas.
integral0^2 integraly^2^2 y(4 x-y) d x d y