Calcule as integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, uma parte importante do cálculo que estuda funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A função pode ser escrita como devido às propriedades dos exponentes.

Passo 3

Integrando em relação a , temos: Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de de 0 a :

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, substituímos de volta na integral externa: Vamos integrar em relação a : Aplicando os limites de de 0 a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico. A. Determine o domínio da função. B. intersecções com os eixos; C. Símetrias; D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais; E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente; F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais; G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão; H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
21. O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e . (a) Escreva a equação que modela a população descrita;
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e . (d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é ? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico. A. Determine o domínio da função. B. intersecções com os eixos; C. Símetrias; D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais; E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente; F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais; G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão; H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.