Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, uma parte importante do cálculo que estuda funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A função pode ser escrita como devido às propriedades dos exponentes.
Passo 3
Integrando em relação a , temos:
Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de de 0 a :
Passo 4
Agora que temos o resultado da integral interna, substituímos de volta na integral externa:
Vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de de 0 a :
Resposta
O valor da integral dupla é .
Exercícios relacionados
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
21. O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(a) Escreva a equação que modela a população descrita;
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é ? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.