Calcule as integrais iteradas. integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, uma parte importante do cálculo que estuda funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A função pode ser escrita como devido às propriedades dos exponentes.

Passo 3

Integrando integral e^x cdot e^y , dy = e^x integral e^y , dy = e^x cdot e^y + C em relação a e^x cdot e^ln 2 - e^x cdot e^0 = e^x cdot 2 - e^x cdot 1 = e^x(2 - 1) = e^x , temos:
Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de de 0 a :

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, substituímos de volta na integral externa:
integral0^ln 3 e^x , dx
Vamos integrar integral e^x , dx = e^x + C em relação a e^ln 3 - e^0 = 3 - 1 = 2 :
Aplicando os limites de de 0 a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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