O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é ? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um modelo logístico aplicado à biomassa de linguados gigantes no Oceano Pacífico. Os parâmetros são por ano e Kg. A questão pede para analisarmos o comportamento da biomassa ao longo do tempo, dado que a biomassa inicial é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o modelo logístico e como ele descreve o crescimento da população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o modelo logístico. Ele é uma equação matemática usada para descrever como uma população cresce ao longo do tempo, levando em conta que há limites no ambiente que impedem o crescimento indefinido. A equação do modelo logístico é:
Aqui, representa a taxa de variação da biomassa ao longo do tempo. O termo é a taxa de crescimento intrínseca da população, e é a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o máximo que o ambiente pode sustentar.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da biomassa sem resolver a equação. A chave aqui é olhar para a condição inicial . Isso significa que inicialmente, a biomassa é dois terços da capacidade de suporte . No modelo logístico, isso nos dá algumas informações importantes:
  • Se , a população tende a crescer em direção a .
  • Se , a população tende a diminuir em direção a .
  • Se , a população permanece constante.

Passo 4

Como é menor que , podemos concluir que a biomassa irá crescer ao longo do tempo. Contudo, esse crescimento não será indefinido; ele vai desacelerar à medida que se aproxima de . Isso acontece porque, conforme a população cresce, os recursos disponíveis ficam mais escassos, o que reduz a taxa de crescimento.

Resposta

Portanto, a biomassa dos linguados é sempre crescente e se aproxima assintoticamente da capacidade de suporte Kg conforme o tempo passa. Ela não cresce indefinidamente nem apresenta oscilações.

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Calcule as integrais iteradas.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(f) Encontre o instante no qual a biomassa atinge