O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que y, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante t. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores r = 0,71 /ano e K = 80,5 * 10^6 Kg.
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa y(t) de linguados, sabendo que a biomassa inicial é y(0) = 2K / 3 ? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um modelo logístico aplicado à biomassa de linguados gigantes no Oceano Pacífico. Os parâmetros são por ano e Kg. A questão pede para analisarmos o comportamento da biomassa ao longo do tempo, dado que a biomassa inicial é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o modelo logístico e como ele descreve o crescimento da população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o modelo logístico. Ele é uma equação matemática usada para descrever como uma população cresce ao longo do tempo, levando em conta que há limites no ambiente que impedem o crescimento indefinido. A equação do modelo logístico é:
Aqui, representa a taxa de variação da biomassa ao longo do tempo. O termo é a taxa de crescimento intrínseca da população, e é a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o máximo que o ambiente pode sustentar.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da biomassa sem resolver a equação. A chave aqui é olhar para a condição inicial . Isso significa que inicialmente, a biomassa é dois terços da capacidade de suporte . No modelo logístico, isso nos dá algumas informações importantes:
  • Se , a população tende a crescer em direção a .
  • Se , a população tende a diminuir em direção a .
  • Se , a população permanece constante.

Passo 4

Como é menor que , podemos concluir que a biomassa irá crescer ao longo do tempo. Contudo, esse crescimento não será indefinido; ele vai desacelerar à medida que se aproxima de . Isso acontece porque, conforme a população cresce, os recursos disponíveis ficam mais escassos, o que reduz a taxa de crescimento.

Resposta

Portanto, a biomassa dos linguados é sempre crescente e se aproxima assintoticamente da capacidade de suporte Kg conforme o tempo passa. Ela não cresce indefinidamente nem apresenta oscilações.

Exercícios relacionados