O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa
de linguados, sabendo que a biomassa inicial é
? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um modelo logístico aplicado à biomassa de linguados gigantes no Oceano Pacífico. Os parâmetros são
por ano e
Kg. A questão pede para analisarmos o comportamento da biomassa
ao longo do tempo, dado que a biomassa inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o modelo logístico e como ele descreve o crescimento da população.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o modelo logístico. Ele é uma equação matemática usada para descrever como uma população cresce ao longo do tempo, levando em conta que há limites no ambiente que impedem o crescimento indefinido. A equação do modelo logístico é:
Aqui,
representa a taxa de variação da biomassa ao longo do tempo. O termo
é a taxa de crescimento intrínseca da população, e
é a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o máximo que o ambiente pode sustentar.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da biomassa sem resolver a equação. A chave aqui é olhar para a condição inicial
. Isso significa que inicialmente, a biomassa é dois terços da capacidade de suporte
. No modelo logístico, isso nos dá algumas informações importantes:
- Se
, a população tende a crescer em direção a . - Se
, a população tende a diminuir em direção a . - Se
, a população permanece constante.
Passo 4
Como
é menor que
, podemos concluir que a biomassa irá crescer ao longo do tempo. Contudo, esse crescimento não será indefinido; ele vai desacelerar à medida que
se aproxima de
. Isso acontece porque, conforme a população cresce, os recursos disponíveis ficam mais escassos, o que reduz a taxa de crescimento.
Resposta
Portanto, a biomassa
dos linguados é sempre crescente e se aproxima assintoticamente da capacidade de suporte
Kg conforme o tempo passa. Ela não cresce indefinidamente nem apresenta oscilações.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(f) Encontre o instante no qual a biomassa atinge
(f) Encontre o instante