Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre esboçar o gráfico da função
. O conteúdo aqui envolve entender funções, seus domínios, intersecções com os eixos, simetrias, assíntotas, comportamento crescente ou decrescente, máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão. Vamos precisar usar derivadas para encontrar essas características e, passo a passo, descobrir tudo isso para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida para todos os números reais, assim como
. Portanto, a soma delas também está definida para todos os reais.
Resposta A: O domínio da função é
(todos os números reais).
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde o gráfico da função corta os eixos
e
.
Intersecção com o eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo , definimos
:
Para encontrar onde a função corta o eixo
Então, a intersecção com o eixo
é no ponto
.
Intersecção com o eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo , definimos
:
Para encontrar onde a função corta o eixo
Essa equação não tem solução algébrica simples, então teremos que resolver numericamente. Aproximadamente, a solução é
.
Resposta B: A função corta o eixo
em
e o eixo
aproximadamente em
.
Passo 4
Vamos verificar se a função tem simetria em relação ao eixo
ou à origem.
Simetria em relação ao eixo
:
Uma função é par se .
Uma função é par se
Isso não é igual a
, então não é par.
Simetria em relação à origem:
Uma função é ímpar se .
Uma função é ímpar se
Como
, não é ímpar.
Resposta C: A função
não possui simetria em relação ao eixo
nem à origem.
Passo 5
Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de quando
tende a
e a
:
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de
Não existem limites finitos, então não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde a função tende a ou
, normalmente em funções com denominadores que podem ser zero. Nossa função é polinomial/trigonométrica sem denominador, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde a função tende a
Resposta D: A função não possui assíntotas horizontais nem verticais.
Passo 6
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos derivar
e analisar o sinal da derivada.
Agora, analisamos onde
(crescente) e
(decrescente).
Crescente quando:
Isso é verdade para todos os
exceto onde
, que acontece em
, onde
é inteiro.
Decrescente quando:
Não há solução real para isso, já que
sempre.
Resposta E: A função é crescente em todo o seu domínio
.
Passo 7
Para encontrar máximos e mínimos locais, analisamos onde a derivada muda de sinal. Como vimos que
é sempre não negativo e apenas igual a zero em pontos específicos, vamos verificar esses pontos.
Nesses pontos, a derivada muda de 0 para positiva, indicando que não há máximos ou mínimos locais, apenas pontos de inflexão.
Resposta F: A função não possui máximos ou mínimos locais.
Passo 8
Vamos analisar a segunda derivada para descobrir concavidade e pontos de inflexão.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Concavidade:
-
(concava para cima) quando . -
(concava para baixo) quando .
Pontos de Inflexão:
Ocorram quando , ou seja, quando
.
Ocorram quando
Resposta G:
- A função é côncava para cima nos intervalos onde
. - É côncava para baixo onde
. - Possui pontos de inflexão em
, para todo inteiro .
Passo 9
Com todas as informações obtidas:
- Domínio: Todos os reais.
- Interseções: (0,1) e aproximadamente (-0.739,0).
- Sem simetrias.
- Sem assíntotas.
- Sempre crescente.
- Sem máximos ou mínimos locais.
- Concavidade muda nos pontos de inflexão
.
O gráfico será uma linha crescente que oscila suavemente devido à função cosseno, com ondulações decorrentes do
. As concavidades alternam conforme o cosseno muda de sinal, e os pontos de inflexão indicam onde a curvatura muda.
Resposta
O gráfico da função
é uma linha sempre crescente que se desloca para cima e para baixo com oscilações periódicas devido ao termo
. Ela corta o eixo
em
e o eixo
aproximadamente em
. Não possui simetrias ou assíntotas. A concavidade alterna conforme
muda de sinal, com pontos de inflexão em
, para todo inteiro
.
(Substitua pelo link do gráfico desenhado)
Exercícios relacionados
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é
? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa
Calcule as integrais iteradas.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(f) Encontre o instante no qual a biomassa atinge
(f) Encontre o instante