Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre esboçar o gráfico da função . O conteúdo aqui envolve entender funções, seus domínios, intersecções com os eixos, simetrias, assíntotas, comportamento crescente ou decrescente, máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão. Vamos precisar usar derivadas para encontrar essas características e, passo a passo, descobrir tudo isso para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida para todos os números reais, assim como . Portanto, a soma delas também está definida para todos os reais.
Resposta A: O domínio da função é (todos os números reais).

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde o gráfico da função corta os eixos e .
Intersecção com o eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , definimos :
Então, a intersecção com o eixo é no ponto .
Intersecção com o eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , definimos :
Essa equação não tem solução algébrica simples, então teremos que resolver numericamente. Aproximadamente, a solução é .
Resposta B: A função corta o eixo em e o eixo aproximadamente em .

Passo 4

Vamos verificar se a função tem simetria em relação ao eixo ou à origem.
Simetria em relação ao eixo :
Uma função é par se .
Isso não é igual a , então não é par.
Simetria em relação à origem:
Uma função é ímpar se .
Como , não é ímpar.
Resposta C: A função não possui simetria em relação ao eixo nem à origem.

Passo 5

Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de quando tende a e a :
Não existem limites finitos, então não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde a função tende a ou , normalmente em funções com denominadores que podem ser zero. Nossa função é polinomial/trigonométrica sem denominador, então não há assíntotas verticais.
Resposta D: A função não possui assíntotas horizontais nem verticais.

Passo 6

Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos derivar e analisar o sinal da derivada.
Agora, analisamos onde (crescente) e (decrescente).
Crescente quando:
Isso é verdade para todos os exceto onde , que acontece em , onde é inteiro.
Decrescente quando:
Não há solução real para isso, já que sempre.
Resposta E: A função é crescente em todo o seu domínio .

Passo 7

Para encontrar máximos e mínimos locais, analisamos onde a derivada muda de sinal. Como vimos que é sempre não negativo e apenas igual a zero em pontos específicos, vamos verificar esses pontos.
Nesses pontos, a derivada muda de 0 para positiva, indicando que não há máximos ou mínimos locais, apenas pontos de inflexão.
Resposta F: A função não possui máximos ou mínimos locais.

Passo 8

Vamos analisar a segunda derivada para descobrir concavidade e pontos de inflexão.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Concavidade:
  • (concava para cima) quando .
  • (concava para baixo) quando .
Pontos de Inflexão:
Ocorram quando , ou seja, quando .
, onde é inteiro.
Resposta G:
  • A função é côncava para cima nos intervalos onde .
  • É côncava para baixo onde .
  • Possui pontos de inflexão em , para todo inteiro .

Passo 9

Com todas as informações obtidas:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Interseções: (0,1) e aproximadamente (-0.739,0).
  • Sem simetrias.
  • Sem assíntotas.
  • Sempre crescente.
  • Sem máximos ou mínimos locais.
  • Concavidade muda nos pontos de inflexão .
O gráfico será uma linha crescente que oscila suavemente devido à função cosseno, com ondulações decorrentes do . As concavidades alternam conforme o cosseno muda de sinal, e os pontos de inflexão indicam onde a curvatura muda.

Resposta

O gráfico da função é uma linha sempre crescente que se desloca para cima e para baixo com oscilações periódicas devido ao termo . Ela corta o eixo em e o eixo aproximadamente em . Não possui simetrias ou assíntotas. A concavidade alterna conforme muda de sinal, com pontos de inflexão em , para todo inteiro .
Esboço do Gráfico (Substitua pelo link do gráfico desenhado)

Exercícios relacionados

O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é ? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
Calcule as integrais iteradas.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(f) Encontre o instante no qual a biomassa atinge