Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a função
e precisamos analisar vários aspectos dela para desenhar o gráfico. Vamos precisar saber sobre domínio, interseções, simetrias, assíntotas, crescimento/decrescimento, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vou te ajudar passo a passo para entender cada parte.
Passo 2
A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos uma fração, e o denominador não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então, vamos resolver
:
Então, o domínio da função é todos os reais exceto
e
.
Passo 3
B. Interseções com os eixos.
Vamos encontrar onde a função corta os eixos
e
.
Interseção com o eixo
: Quando
.
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseção com o eixo
: Quando
.
A fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Então:
Portanto, a interseção com o eixo
também é no ponto
.
Passo 4
C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Lembrando:
- Função par se
- Função ímpar se
Calculando
:
Como
, a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 5
D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas Verticais: São linhas onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero.
Já vimos que
e
tornam o denominador zero. Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Assíntotas Horizontais: Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
E. Encontrar os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, então o sinal da derivada depende do numerador
:
- Quando
, → → função está decrescente. - Quando
, → → função está crescente.
Passo 7
F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Os extremos locais ocorrem onde a derivada é zero ou não existe, mas dentro do domínio da função. Já vimos que
quando
, ou seja,
.
Vamos verificar a natureza desse ponto:
- Para
, (crescente) - Para
, (decrescente)
Isso indica que em
há um máximo local.
Calculando
, então o máximo local é no ponto
.
Passo 8
G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para isso, vamos calcular a segunda derivada e analisar seu sinal.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada
:
Usamos a regra do quociente novamente:
Agora, simplificamos:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Fazendo
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
Como
e não pode ser negativo, temos
, ou seja,
. Porém, nesses pontos a função não está definida (assíntotas verticais), então não há pontos de inflexão reais.
Quanto à concavidade:
- Analisando os sinais de
, podemos ver que para , (concava para cima). - Para
, (concava para baixo).
Passo 9
H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Vamos resumir o que encontramos:
- Domínio:
exceto . - Interseções:
. - Simetria: Par, simétrico ao eixo
. - Assíntotas Verticais:
e . - Assíntota Horizontal:
. - Crescimento/Decrescimento:
- Cresce em
. - Decresce em
e .
- Cresce em
- Extremo Local: Máximo em
. - Concavidade:
- Concava para baixo entre
. - Concava para cima fora desse intervalo.
- Concava para baixo entre
Com todas essas informações, o gráfico deve ter duas ramos, cada um se aproximando das assíntotas verticais em
, aproximando-se da linha horizontal
à medida que
vai para
. O ponto
é o máximo local, e a concavidade muda de cima para baixo nas regiões indicadas.
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos analisar completamente a função
e esboçar seu gráfico com todas as características importantes.
Exercícios relacionados
- O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(a) Escreva a equação que modela a população descrita;
Calcule os seguintes limites usando l
Calcule as integrais iteradas.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é
? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa