Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a função e precisamos analisar vários aspectos dela para desenhar o gráfico. Vamos precisar saber sobre domínio, interseções, simetrias, assíntotas, crescimento/decrescimento, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vou te ajudar passo a passo para entender cada parte.

Passo 2

A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos uma fração, e o denominador não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então, vamos resolver :
Então, o domínio da função é todos os reais exceto e .

Passo 3

B. Interseções com os eixos.
Vamos encontrar onde a função corta os eixos e .
Interseção com o eixo : Quando .
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseção com o eixo : Quando .
A fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Então:
Portanto, a interseção com o eixo também é no ponto .

Passo 4

C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Lembrando:
  • Função par se
  • Função ímpar se
Calculando :
Como , a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .

Passo 5

D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas Verticais: São linhas onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero.
Já vimos que e tornam o denominador zero. Então, temos assíntotas verticais em e .
Assíntotas Horizontais: Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 6

E. Encontrar os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo, então o sinal da derivada depende do numerador :
  • Quando , → função está decrescente.
  • Quando , → função está crescente.

Passo 7

F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Os extremos locais ocorrem onde a derivada é zero ou não existe, mas dentro do domínio da função. Já vimos que quando , ou seja, .
Vamos verificar a natureza desse ponto:
  • Para , (crescente)
  • Para , (decrescente)
Isso indica que em há um máximo local.
Calculando , então o máximo local é no ponto .

Passo 8

G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para isso, vamos calcular a segunda derivada e analisar seu sinal.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada :
Usamos a regra do quociente novamente:
Agora, simplificamos:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Fazendo :
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
Como e não pode ser negativo, temos , ou seja, . Porém, nesses pontos a função não está definida (assíntotas verticais), então não há pontos de inflexão reais.
Quanto à concavidade:
  • Analisando os sinais de , podemos ver que para , (concava para cima).
  • Para , (concava para baixo).

Passo 9

H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Vamos resumir o que encontramos:
  • Domínio: exceto .
  • Interseções: .
  • Simetria: Par, simétrico ao eixo .
  • Assíntotas Verticais: e .
  • Assíntota Horizontal: .
  • Crescimento/Decrescimento:
    • Cresce em .
    • Decresce em e .
  • Extremo Local: Máximo em .
  • Concavidade:
    • Concava para baixo entre .
    • Concava para cima fora desse intervalo.
Com todas essas informações, o gráfico deve ter duas ramos, cada um se aproximando das assíntotas verticais em , aproximando-se da linha horizontal à medida que vai para . O ponto é o máximo local, e a concavidade muda de cima para baixo nas regiões indicadas.

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos analisar completamente a função e esboçar seu gráfico com todas as características importantes.

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Calcule os seguintes limites usando l
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