Calcule as integrais iteradas:
integral0^ln 2 integral0^1 x y e^y^2 x d y d x

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral iterada
integral0^ln 2 integral0^1 x y e^y^2 x , dy , dx
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, ou seja, . Aqui, é considerado constante em relação a .

Passo 3

Para integrar du = 2 y x , dy Rightarrow dy = du2 y x em relação a , podemos usar uma substituição. Vamos definir . Então, derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x y e^y^2 x , dy = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C
Desfazendo a substituição = 12 e^y^2 x + C :

Passo 5

Agora, avaliamos a integral definida de [ 12 e^y^2 x ]0^1 = 12 e^x - 12 e^0 = 12 e^x - 12 a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^ln 2 ( 12 e^x - 12 ) , dx = 12 integral0^ln 2 e^x , dx - 12 integral0^ln 2 1 , dx

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
Para 12 [ e^x ]0^ln 2 - 12 [ x ]0^ln 2 = 12 (e^ln 2 - e^0) - 12 (ln 2 - 0) = 12 (2 - 1) - 12 ln 2 = 12 - 12 ln 2 , a antiderivada é .
Para , a antiderivada é .
Então:

Resposta

Portanto, o valor da integral é
1 - ln 22

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