Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral iterada
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, ou seja,
. Aqui,
é considerado constante em relação a
.
Passo 3
Para integrar
em relação a
, podemos usar uma substituição. Vamos definir
. Então, derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo na integral:
Desfazendo a substituição
:
Passo 5
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Passo 7
Calculando cada integral separadamente:
Para
, a antiderivada é
.
Para
, a antiderivada é
.
Então:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
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, onde
é pequeno. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no comprimento da diagonal calculada.
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e
:
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e
;